föreläsning ::
Basbegreppet. Bas för våra matrisrum

Baser och referensramar. Baser för rad, kolonn och nollrum

Föreläsningens mål ::

Baser och referensramar. Baser för rad, kolonn och nollrum

Vi ska svara på frågorna:  Vad är en bas och hur kan jag beräkna den?

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 Vad är en bas för ett vektorrum

Basbegreppet. Bas för våra matrisrum

×
se och kommentera
2 Nollrum är delrum och hur man beräknar en bas

Basbegreppet. Bas för våra matrisrum

×
se och kommentera
3 Span är ett delrum och hur man beräknar en bas för Span.

Basbegreppet. Bas för våra matrisrum

×
se och kommentera
4 Baser till matrisens delrum

Basbegreppet. Bas för våra matrisrum

×
se och kommentera
5 Delrum för en matris, radrum, kolonnrum och nollrum.

Basbegreppet. Bas för våra matrisrum

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Rekommenderade uppgifter ::

4.2 » 1,3, 5, 15, 17, 19, 25, 26
4.3 » 1, 3, 5, 7, 9, 13, 21, 22
4.4 » 1, 3, 5, 7, 15, 16, 18

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning
1 Exempel på mängder som inte är baser

Basbegreppet. Bas för våra matrisrum

×
se och kommentera

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Inga extradokument tillgängliga för denna föreläsning




annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • Nollrum vs kolonnrum

    Problemforumulering:

    Låt \[ u=\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\1 \\-3\end{array}\right],\quad\text{ och }\quad v=\left[\begin{array}{c}-5 \\3 \\-2\end{array}\right] \] och \[ A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & -1 & 3 \\3 & 2 & 5 & 1 \\-3 & 1 & -2 & -4\end{array}\right] \]

    1. Bestäm om \(u\) ligger i nollrummet till \(A\) och om \(u\) kan ligga i kolonnrummet
    2. Avgör om \(v\) ligger i kolonnrummet till \(A\). Kan \(v\) ligga i nollrummet till \(A\)?

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    1. Multiplikationen \(Au\neq 0\) och ger oss att \(u\) inte ligger i nollrummet. \(u\) kan inte ligga i kolonnrummet eftersom den har fyra komponenter och kolonnrummet är ett delrum av \(\mathbb{R}^3\)
    2. För att undersöka om \(v\) ligger i kolonnrummet så ställer vi upp den utvidgade matrisen och gausseliminerar: \[ \left[\begin{array}{cccc|c}1 & -2 & -1 & 3 &-5\\3 & 2 & 5 & 1 &3\\-3 & 1 & -2 & -4&-2\end{array}\right]\sim \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \] Sista raden påvisar en inkonsistens och vi drar därför slutsatsen att \(v\) inte ligger i kolonnrummet. \(v\) kan inte ligga i nollrummet eftersom \(v\) är tredimensionell vektor medan nollrummet är ett delrum av \(\mathbb{R}^4\) och dessa vektorer har alla fyra komponenter..

    ×
  • Nollrum, kolonnrum och radrum som delrum

    Problemforumulering:

    Betrakta följande \(3\times 4\)-matris :: \[ A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & 2 \\1 & 2 & 1 & 2 \\1 & 2 & 2 & 1\end{array}\right] \] Om vi tolkar \(A\) som en avbildning \(A:U\to V\). Vad är \(U\) och vad är \(V\)?. Visa att \(Noll(A)\) och \(Row(A)\) är delrum av \(U\) och \(Col(A)\) ett delrum av \(V\). Beräkna \(Noll(A)\) och visa att detta rum är ortogonalt mot \(Row(A)\). Visa att \(b=(1,-1,1,-3)\) varken ligger i kolonnrummet eller i nollrummet. Ligger \(b\) i radrummet? Var ligger \(b\)?

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Som avbildning så verkar \(3\times 4\)-matrisen \(A\) genom produkten \(Ax\), dvs \[ \mathbb{R}^4\ni x\mapsto Ax \in \mathbb{R}^3 \] Det är matrisprodukten \(Ax\) som kräver att \(x\in\mathbb{R}^4\) (vilket ger att \(U=\mathbb{R}^4\)). Matrisprodukten ger också att produkten blir en tredimensionell vektor och detta betyder att \(V=\mathbb{R}^3\). Nollrummet är ett delrum eftersom \(x,y\in Noll(A)\) ger att linjärkombinationen \(ax+by\in Noll(A)\): \[ A(ax+by)=aAx+bAy=a\cdot 0+b\cdot 0=0 \] Radrummet är linjära höljet (spannet) av radvektorerna. Därmed kommer radrummet att innehålla alla linjärkombinationer av vektorerna och därför är delrumsaxiomen automatiskt uppfyllda. Detsamma gäller för kolonnrummet, som är alla linjärkombinationer av kolonnvektorerna. Vektorn \(b\) kan inte ligga i kolonnrummet eftersom \(b\) har fyra komponenter medan varje vektor i kolonnrummet har tre komponenter. Vektorn ligger heller inte i nollrummet eftersom den inte är ortogonal mot radrummets vektorer. Man kan också utföra multiplikationen \(Ab\) och se att denna inte är noll. Ligger \(b\) i radrummet? Här kan vi ställa upp matrisen A och lägga till vektorn \(b\) som en extra rad och Gausseliminera. För vi en nollrad så ligger \(b\) i radrummet, får vi inte en nollrad så ligger \(b\) inte i radrummet. Vi har: \[ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -3 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -8 \\ \end{array} \right] \] så det följer att \(b\) inte ligger i radrummet. Vi hade också kunnat försöka lösa \(A^Tx=b\) för att hitta den linjärkombination av raderna (som nu står som kolonner i matrisen \(A^T\)) som möjligen ger b. Detta system blir \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & -3 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -8 \\ \end{array} \right] \] och detta system är uppenbarligen inkonsistent. Så, var ligger b då? Radrummet är ett tredimensinellt delrum av \(\mathbb{R}^4\) och b ligger inte där. Alltså måste b ligga i den del av \(\mathbb{R}^4\) som radrummet inte når ut till, dvs \[b\in \mathbb{R}^4\setminus Row(A)\]

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Vektorrum och delrum

Baser, koordinater och basbyte. >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


Micke's avatar

Micke

publicerat den :: 2016 12 20

I lösningen till andra frågan på lösta problem på denna sida så är delfrågan: beräkna Noll(A) och visa att detta rum är ortogonalt mot Row(A) inte besvarad. Jag har beräknat Ax = 0 och får x4 som en fri variabel som jag kallar t. x1=-5t, x2=t, x3=t, x4=t. Då Ax=0 så är väl detta i sig bevis för att radvektorn är ortogonal mot x-vektorn så jag vet inte om det räcker som bevis. Micke.



jonathan.t.bergman@gmail.com

publicerat den :: 2015 11 07

Hej! Jag förstår inte varför vi ställer upp kolonnvektorerna som rader i en matris i videon som beräknar en bas av ett span. I boken verkar de ställa upp dem som kolonner.