föreläsning ::
Baser, koordinater och basbyte.

När vi räknar med vektorer så har vi underförstått att vi valt en standardreferensram och koordinatvektorerna är uttryckta med avseende på denna. Det finns dock många likvärdiga referensramar/koordinatsystem/baser och vektorerna, som själva pekar åt ett visst bestämt håll oavsett om vi mäter dem med våra ramar eller inte, kan uttryckas som koordinatvektorer mha var och en av dessa ramar. Koordinatvektorerna beror starkt på den valda ramen och byter man referensram så får vi nya koordinater. Sådana referensramsbyten är ofta viktiga när vi vill hitta en så enkel beskrivning av en situation som möjligt. Dessa basbyten ska vi studera i denna föreläsning.

Föreläsningens mål ::

Vi ska svara på frågorna:

Hur byter jag referensram? Hur utför jag ett basbyte.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 L14-010 Om koordinatsystem och koordinatrum.

Baser, koordinater och basbyte.

×
se och kommentera
2 L14-020 Koordinatbyte mellan en bas och standardbasen

Baser, koordinater och basbyte.

×
se och kommentera
3 L14-030 Basbyte mellan två icke-standard baser

Baser, koordinater och basbyte.

×
se och kommentera
4 L14-040 Ideer för ickestandardbasbyte

Baser, koordinater och basbyte.

×
se och kommentera
5 L14-050 Exempel på ickestandardbasbyte med genväg

Baser, koordinater och basbyte.

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Rekommenderade uppgifter ::

4.5 » 1, 3, 11, 13, 15, 19, 20
4.6 » 1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 17, 18
4.7 » 7, 9, fler uppgifter i basbyte-uppgifter.pdf

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Inga extradokument tillgängliga för denna föreläsning




annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Nyckelord



Lösta problem


  • Uppgift om Basbyte

    Problemforumulering:

    Kolonnerna i matriserna \(A\) och \(B\) är två baser i \(\mathbb{R}^3\) \[ A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right]\qquad B=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right] \quad \] Beräkna matrisen som överför koordinatvektorer uttryckta i basen \(B\) till koordinatvektorer uttryckta i basen \(A\). Speciellt: Uttryck koordinatvektorn\footnote{index indikerar att vektorn är uttryckt i basen \(B\)} \([1,2,3]_B\) med hjälp av basen \(A\).

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Matriserna \(A\) och \(B\) är båda uttryckta i standardbasen (eftersom inget annat sägs så får vi anta det) och detta innebär att de utgör basbytesmatriserna från basen \(A\) respektive \(B\) till standardbasen. Situationen är som i figuren M.h.a. figuren kan vi se hur vi överför från basen \(B\) till basen \(A\), vilket ges av följande kedja: \[ x_B \quad\longmapsto\quad Bx_B=x_S \quad\longmapsto\quad A^{-1}x_S=A^{-1}Bx_B =x_A \] Matrisen \(A^{-1}B\) överför alltså koordinatvektorer m.a.p. \(B\) till koordinatvektorer m.a.p. \(A\). Denna matrisprodukt får vi fram genom att Radreducera den utvidgade matrisen \((A | B)\) Se löst problem Lösning av AX=B på två sätt i föreläsning om matriser och matrisalgebra och inversen. \[ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right.\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right] \quad\sim\quad \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right.\left| \begin{array}{ccc} -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \end{array} \right] \] vilket ger oss att vår basbytesmatris \(X\) blir \[ X=\frac{1}{4} \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & -1 \end{array} \right]\] Genom att använda denna så får vi att koordinatvektorn \(x_B=[1,2,3]_B\) m.a.p. \(A\) ges av \[ x_A=Xx_B=\frac{1}{4} \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & -1 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c}1 \\2 \\3\end{array}\right]_B= \left[ \begin{array}{c} \frac{7}{2} \\ \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} \end{array} \right]_A \] Vår koordinatvektor blir alltså \[ x_A=\frac{1}{2}[7,5,3] \]

    ×
  • En uppgift om basbyte

    Problemforumulering:

    Vi har baserna \(\mathcal{A}\) och \(\mathcal{B}\), givna som kolonnerna till matriserna \[ A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \qquad\text{ respektive }\qquad B=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right] \] Beräkna matrisen \(\underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}\) som överför vektorer uttryckta i basen \(\mathcal{A}\) till vektorer uttryckta i basen \(\mathcal{B}\). Vad blir vektorn \([v]_{\mathcal{A}}=[1,2,1]^T_{\mathcal{A}}\) uttryckt i basen \(\mathcal{B}\)?

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Basbytesmatrisen \(\underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}\) fås som produkten \(B^{-1}A\). Denna produkt beräknas genom \[ (B|A)=\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right] \] vilket alltså ger oss \[ \underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}= \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right] \] Koordinaterna för \(v\) m.a.p. basen \(\mathcal{B}\) blir \[ [v]_{\mathcal{B}}= \underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}[v]_{\mathcal{A}}= \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right]\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\0 \\2\end{array}\right] \]

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Basbegreppet. Bas för våra matrisrum

Skalärprodukten, ortogonalitet och projektion >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::