föreläsning ::
Gausselimination :: de singulära fallen

De singulära fallen av linjära ekvationssystem är system som antingen ger många lösningar, lösningsmängden blir linjer, plan eller liknande, eller så är systemet inkonsistent, dvs saknar lösning. Det här är väldigt viktiga fall och man behöver veta hur man hanterar systemen. Och det lär man sig i denna föreläsning.

Föreläsningens mål ::

Målet för denna föreläsning är att lära sig hur man hanterar system som antingen har många lösningar eller saknar lösningar.

För inkonsistenta system så lär vi oss hur man upptäcker inkonsistensen, att de saknar lösningar. (ledande elementet för en rad är i höger led)

För konsistenta system med många lösningar så lär vi oss hur vi identifierar ledande och fria variabler. De fria variablerna blir parametrar i de parameterlösningar vi ställer upp.

Det är viktigt att lära sig hur man kommer från den Gauss-Jordan eliminerade systemmatrisen till parameterformen.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 L3 ledande och fria 032

Gausselimination :: de singulära fallen

×
se och kommentera
2 L3 Ledande och fria 033

Gausselimination :: de singulära fallen

×
se och kommentera
3 L3 ledande och fria 033 extra

Gausselimination :: de singulära fallen

×
se och kommentera
4 L4 inkonsistens 010

Gausselimination :: de singulära fallen

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Vissa av uppgifterna i kapitel 1.1-1.4 handlar om singulära system. Har vi fria variabler så är systemet singulärt. Men alla uppgifterna handlar inte om singulära system. Jag rekommenderar att försöka arbeta själv (utan att tjuvkolla på lösningarna) med de orangea uppgifterna nedan. Dessa uppgifter handlar bara om Singulära system.

Rekommenderade uppgifter ::

1.1 » 1, 3, 5, 7, 9, 11, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25
1.2 » 1ad, 3 ,7, 9, 11, 15ab, 21, 22, 23, 24
1.3 » 1, 3, 5, 7, 9, 17, 21 23, 24, 29
1.5 » 1, 2, 5, 9, 11, 17, 23, 24, 34

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning
1 Lösning till Quizz1 uppgift 1

Gausselimination :: de singulära fallen

×
se och kommentera
2 Lösning till Quizz1 uppgift 3

Gausselimination :: de singulära fallen

×
se och kommentera

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Lösningar till Inlämningsuppgift 1 Deadline 20161205 Lay edition 3 update, Kapitel 1


annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • 2x2 sammanfallande linjer

    Problemforumulering:

    Lös systemet \[ \left[\begin{array}{cc|c}-3 & 1 & 1 \\3 & -1 & -1\end{array}\right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[\begin{array}{cc|c}-3 & 1 & 1 \\3 & -1 & -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \(x\) ledande och \(y=3s\) fri. Rad 1 ger \(-3x+y=1\) vilket ger \(x=\frac{1}{3} y-\frac{1}{3}=s-\frac{1}{3}\) Lösningen på parameterform blir \[ \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1 \\3\end{array}\right]s+\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3} \\0\end{array}\right] \]

    ×
  • parameterberoende utan många lösningar

    Problemforumulering:

    Bestäm talet \(a\) så att systemet \[ \left[\begin{array}{cc|c}1 & 2a & 1 \\2a & 1 & 0\end{array}\right] \]
    1. har unik lösning
    2. har oändligt många lösningar
    3. har unik lösning.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Gausseliminera :: \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 2 a & 1 \\ 0 & 1-4 a^2 & -2 a \\ \end{array} \right] \] Från detta har vi att vi får unik lösning om \(1-4a^2\neq 0\), dvs unik lösning om \(a\neq\pm\frac{1}{2}\) För att få oändligt många lösningar så krävs dett att sista raden är noll både till vänster och till höger. Vänster led blir noll om \(a=\pm\frac{1}{2}\). Men då blir höger led \(\pm 1\) dvs skilt från noll och detta ger i så fall att vi får en inkonsistens (\(0=1\) så systemet saknar lösningar för \(a=\pm\frac{1}{2}\) Detta betyder också att det inte finns något värde på \(a\) som gör att båda led blir noll och detta system kan alltså aldrig ha oändligt många lösningar.

    ×
  • b för konsistens

    Problemforumulering:

    Bestäm \(b\) så att följande system har lösningar \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & -2 & b \\ -2 & 4 & 3 \\ \end{array} \right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & -2 & b \\ -2 & 4 & 3 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -2 & b \\ 0 & 0 & 2 b+3 \\ \end{array} \right] \] Eftersom vi har noll i vänster led i sista raden så kan vi utläsa att vi har konsistens om också höger led blir noll. Detta är fallet om \(2b+3=0\) vilket ger att \(b=-\frac{3}{2}\)

    ×
  • ledande och fria variabler

    Problemforumulering:

    Hitta ledande och fria variabler för det radreducerade systemet. \[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] Skriv upp parameterlösningen.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \(x\) och \(y\) ledande och \(z\) fri Lösningen blir \[ \left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2 \\-1 \\1\end{array}\right]t+\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\0\end{array}\right] \]

    ×
  • fria i radreducerat system

    Problemforumulering:

    Hitta ledande och fria variabler för det radreducerade systemet. \[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -3 & 3 \\0 & 1 & 1/2 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] Skriv upp parameterlösningen.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \(x\) och \(y\) ledande och \(z=2t\) fri Lösningen blir \[ \left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6 \\-1 \\2\end{array}\right]t+\left[\begin{array}{c}3 \\-1\\0\end{array}\right] \]

    ×
  • fria och ledande variabler

    Problemforumulering:

    Identifiera ledande och fria variabler för systemet \[ \left[\begin{array}{ccc|c}-2 & 3 & 7 & 11 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Endast första variabeln \(x\) är ledande eftersom endast första kolonnen har ett ledande element. \(y=2s\) och \(z=2t\) är fria variabler. När vi, mha rad 1, uttrycker den ledande med de fria får vi \(x=\frac{1}{2}(3y+7z-11)=3x+7t-\frac{11}{2}\) När vi skriver lösningen på parameterform så får vi \[ \left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}3 \\2 \\0\end{array}\right]s+\left[\begin{array}{c}7 \\0 \\2\end{array}\right]t+\left[\begin{array}{c}\frac{11}{2} \\0 \\0\end{array}\right] \]

    ×
  • singulärt system med linjelösning

    Problemforumulering:

    Lös systemet \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \] Vi får att \(x\) och \(y\) är ledande variabler och \(z=3t\) fri. \marginnote{\tiny Trean i \(3t\) är vald för att vi ska slippa bråk i lösningen} \bigskip \noindent Rad 2 ger nu att \(y=-z/3=-t\). Rad 1 ger att \(x=-z/3+1=-t+1\).\\ Vi sammanställer lösningen som \[ \left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1 \\-1 \\3\end{array}\right]t+\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\0\end{array}\right] \]

    ×
  • singulär inkonsistens

    Problemforumulering:

    Lös systemet \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & -1 & 0 \\ \end{array} \right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & -1 & 0 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \] Sista raden säger att \(0=1\), omöjligt och systemet är inkonsistent, dvs saknar lösningar.

    ×
  • flera fria variabler

    Problemforumulering:

    Lös systemet \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & -1 \\ -2 & 4 & -4 & 2 \\ -1 & 2 & -2 & 1 \\ \end{array} \right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & -1 \\ -2 & 4 & -4 & 2 \\ -1 & 2 & -2 & 1 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \] Här har vi endast en ledande variabel \(x\) men två fria variabler \(y=s\) och \(z=t\). \noindent Rad 1 ger oss \(x=2y-2z-1=2s-2t-1\) Lösningen på parameterform blir \[ \left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\1 \\0\end{array}\right]s+ \left[\begin{array}{c}-2 \\0 \\1\end{array}\right]t+ \left[\begin{array}{c}-1\\0 \\0\end{array}\right] \]

    ×
  • två fria variabler

    Problemforumulering:

    Lös systemet \[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 2 \\-2 & 4 & -2 & -4 \\-1 & 2 & -1 & -2\end{array}\right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 2 \\-2 & 4 & -2 & -4 \\-1 & 2 & -1 & -2\end{array}\right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \] Här har vi att \(x\) är ledande variabel och \(y=s\) och \(z=t\) är fria variabler. Med rad 1 kan vi uttrycka \(x\) mha de fria: \[ x=2y-z+2=2s-t+2 \] Den parametriska lösningen blir nu \[ \left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}2 \\1 \\0\end{array}\right]s+ \left[\begin{array}{c}-1 \\0 \\1\end{array}\right]t+ \left[\begin{array}{c}2 \\0 \\0\end{array}\right] \]

    ×
  • Är detta system konsistent

    Problemforumulering:

    Beräkna alla lösningar till systemet \[ \left[ \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[ \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \] Från sista raden ser vi att vi har ett inkonsistent system (i sista raden står det \(0=1\)) och systemet har alltså inga lösningar.

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Introduktion till Gausselimination

Vektorekvationer och Homogena ekvationssystem >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


mikke

publicerat den :: 2016 11 27

Tack Micke!

Du verkar inte missat något utan det är slarvfel från min sida.
Jag har nu uppdaterat lösningarna. Hoppas det blev rätt denna gång.

Fortsätt gärna räkna uppgifterna. Jag uppskattar när ni räknar kritiskt och rapporterar när ni har frågor kring dem eller upptäcker konstigheter!

mvh smile



Micke's avatar

Micke

publicerat den :: 2016 11 26

och i lösta problem ledande och fria variabler får jag y koordinaten för punkten till 2 och inte -2. Verkar va nåt ja inte hajjar här?



Micke's avatar

Micke

publicerat den :: 2016 11 26

I lösta problem 2x2 sammanfallande linjer, ska det inte vara -1/3 för x-koordinaten för punkten?



mikke

publicerat den :: 2015 10 09

@HIleen.m
I uppgifterna 1.1.19-22 ska man bestämma värden på en parameter h så att systemet blir konsistent. Strategin för att lösa uppgifterna är att börja med att Gausseliminera matriserna rakt av.

Uppgift 19:
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & h & 4 \\
3 & 6 & 8 \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & h & 4 \\
0 & 6-3 h & -4 \\
\end{array}
\right]
\]
Här ser vi att om \(6-3h=0\) så kommer matrisen ha ledande element i höger led vilket betyder inkonsistens. Raden säger då att \(0=-4\) vilket ju är omöjligt.

I uppgift 20 och 21 har vi system som alltid är konsistenta. För uppgift 20 har vi
\[
\text{}\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & h & -3 \\
-2 & 4 & 6 \\
\end{array}
\right]
\sim
\text{}\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & h & -3 \\
0 &2h;+4 & 0 \\
\end{array}
\right]
\]
Att systemet är konsisten för alla \(h\) följer av att sista raden ger att \(y=0\) för alla \(h\) utom för \(h=-2\) då \(y\) blir fri.

För sista uppgiften får vi efter gausselimination att
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & h & -3 \\
0 & 0 & 5+3h \\
\end{array}
\right]
\]
Systemet är här inkonsistent för alla \(h\neq -5/3\)

hoppas detta hjälper
mvh smile



mikke

publicerat den :: 2015 10 09

@Hileen.m

Uppgift 1.3:7

Här ska man använda figuren med det sneda rutnätet. Ser du att rutnätet är parallellt med vektorerna u och v?
Starta i origo och gå längs de blå linjerna till den punkt som du söker. Om du vill gå till w t.ex. så kan man gå två steg längs v-linerna och ett minussteg längs u linjerna. w kan nu skrivas som
\[w=2v-u\]
Om man vill komma till z så får man gå 4 steg längs v och -3 stycken u-steg så \[z=4v-3u\]

Uppgift 1.3.21

I denna uppgift är den viktigaste ledtråden att veta vad Span{u,v} är för något och vad det betyder att en vektor ligger i detta Span.
Att en vektor \(\mathbf{w}\) ligger i Span{u,v} betyder att w kan skrivas som en linjär kombination av \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\) (Span innehållar alla sådana linjärkombinationer), dvs att det finns tal \(s\) och \(t\) sådana att
\[s\cdot \mathbf{u}+t\cdot\mathbf{v}=\mathbf{w}\]
I vårt fall så blir detta villkor följande vektorekvation
\[
s\left[
\begin{array}{c}
2 \\
-1 \\
\end{array}
\right]
+t
\left[
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
h \\
k \\
\end{array}
\right]
\]
Skriver vi om denna vektorekvation på matrisform och radreducerar så får vi
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
2 & 2 & h \\
-1 & 1 & k \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & \frac{1}{4} (h-2 k) \\
0 & 1 & \frac{1}{4} (h+2 k) \\
\end{array}
\right]
\]
Den radreducerade formen visar nu att systemet är konsistent för alla värden på h och k. Första raden säger ju vad \(s\) blir och andra raden talar om för oss vad \(t\) blir.

Hoppas detta hjälper!
mvh:-)



Hileen.m

publicerat den :: 2015 10 08

Hej igen,

Har faktiskt en till fråga om kapitel 1,1. Då jag försökte lösa uppgifterna 19,20,21,22. Kunde lösa dessa uppgifter men förstår inte hur man vet att det blir en lösning?

Med vänlig hälsning,

Hileen Mohsin



Hileen.m

publicerat den :: 2015 10 08

Hej!

Håller på göra uppgifterna på kap 1,3 men fastade på uppgift 7 och 21. Förstår inte hur dem har löst uppgiften. Kan du hjälpa mig?

Med vänlig hälsning,

Hileen



mikke

publicerat den :: 2015 09 27

@Pierina x3

1. Datorlabb: Instruktioner kommer senare, troligen inte förrän i november. Labben sker i programmet Mathematica som ni laddar ner från wolfram. Man registrerar sig hos wolfram med er studentmailaddress från högskolan i gävle. När man är inloggad hos wolfram så finns nedladdningslänkar och aktiveringskoder. Men som sagt jag återkommer med mer exakta instruktioner längre fram.
2. Om vi tolkar matrisen du angav som en utvidgad (augmented) matris så är det fråga om fyra ekvationer i tre obekanta. Två av raderna består bara av nollor och dessa rader/ekvationer säger bara att 0=0. Så egentligen är det bara två ekvationer i tre obekanta. Vardera av dessa ekvationer är geometriskt ett plan och lösningen till systemet är skärningen mellan dessa två plan, som förmodligen är en hel linje. Parameterformen för den linjen hittar man genom att identifiera ledande och fria variabler och uttrycka de ledande mha den fria m.h.a de två ekvationerna.



Pierina

publicerat den :: 2015 09 26

Hur tolkas detta “augmentet” matris geometrisk ?

1 0 3 7
0 1 1 3
0 0 0 0
0 0 0 0

Tack!



Pierina

publicerat den :: 2015 09 26

 



Pierina

publicerat den :: 2015 09 25

Hej!

En lite praktisk fråga angående laborationer.
- Behöver vi ladda ner några program på dator?
- Hur ser en laboration uppgift ut? Kan vi några exempel ?’

Tack!



mikke

publicerat den :: 2015 09 23

@Granit

Om jag ställer upp systemet och löser det med Mathematica så får jag
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 5 & 2 \\
-2 & 1 & -6 & -1 \\
0 & 2 & 8 & 6 \\
\end{array}
\right]\sim
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 5 & 2 \\
0 & 1 & 4 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\]
vilket gör att systemet har lösningar, precis som Du sa. Alltså är höger led, \(\mathbf{b}\) en linjärkombination av
kolonnerna i vänster led. 

I svaret i Lay edition 4 står det att den inte är en linjärkombination, vilket är intressant eftersom
samma uppgift både i upplaga 3 och i upplaga 5 har samma svar som Du och Jag och Mathematica fått fram. Och jag har kollat noggrannt och verifierat att uppgiftsformuleringen är exakt samma i de tre upplagorna. (Lay har annars en (idiotisk) tendens att ändra uppgifternas siffror mellan upplagorna.)

Det är helt enkelt fel svar på uppgift 1.3.11 i upplaga 4.

mvh smile



Granit

publicerat den :: 2015 09 23

Har en fråga angående en uppgift i Lay. Det är uppgift 11 sektion 1.3 där man ska bestämma om b är en linjär kombination
av a1 a2 och a3. Jag löste “the augmented matrix” och fick fram att det finns lösningar på systemet och att b är en linjär kombination. Men svaret längs bak i boken säger att b inte är en linjär kombination. Men det är ganska lätt att komma fram till att det finns lösningar. Så vad är det frågan om här smile  ?



mikke

publicerat den :: 2015 09 20

@Granit!

Tack för observationen!

Nej du har inte missat något. Jag har dock missat att foga in den. Nu finns den, men ligger i nästa föreläsning.

Planeringen fram till vekka 4 räcker i 8 kalenderveckor. Vi är just nu inne i vekka 2 och vecka 4 börjar i morgon.
Det kommer bli åtminstone 8 vekka planeringar och jag fyller på med dessa om två veckor eller så.

Vi kommer läsa t.o.m. kapitel 7 i Lay, så det är en hel del kvar att få in i vekkaplaneringarna.  Anledningen att jag inte lagt upp allt redan nu beror på att jag måste sammanställa och omorganisera materialet från förra versionen av linearalgebra som krashade i våras. Det är många små saker som ska göras och det tar tid. Jag har dessutom en stor (+300 studenter) kurs parallellt med denna kurs och den tar också tid. Men jag kämpar på och det kommer vekkaplaneringar i god tid innan de nu existerande vekkaplaneringarna tar slut.

mvh smile



Granit

publicerat den :: 2015 09 20

Har kanske missat det men hoppar vi sektion 1.4 i Lay boken?

Hur fortsätter vi efter VEKKA 4? Kommer det komma upp information om VEKKA 5, 6 osv. För VEKKA 4 är väl bara upp till kapitel 4.



mikke

publicerat den :: 2015 09 16

@Simon

man kan absolut sätta \(y=s\) och då kommer man få \(1/3\) i linjens riktningsvektor.
Genom att sätta \(y=3s\) så “trollar man bort” tredjedelen och parameterlösningens riktningsvektor blir då heltal, vilket är snyggare och lättare att hantera.  Parametern ger en skala på linjelösningen. Om man väljer \(3s\) så får man en större skala, större steg. Men vilket man väljer spelar egentligen ingen roll.

mvh smile



mikke

publicerat den :: 2015 09 16

@Julia och Fred

Ni ställde samma fråga!

Tack ska Ni ha. Ni har inte missat något, det är jag som slarvat. Jag har nu uppdaterat med vad jag tror ska vara en korrektare lösning. Men kolla gärna.

Tack för hjälpen !

mvh smile



mikke

publicerat den :: 2015 09 16

@Pierina
I matrisen A har vi fyra kolonnvektorer. Kalla dem \(a_1, a_2, a_3, a_4\). Det är inte svårt att se att

\[a_4=4a_1+2a_2+2a_3\]

så den fjärde vektorn ligger i \(Span\{a_1,a_2,a_3\}\).

Notera också att kolonnvektorerna har noll som fjärde komponent.

De tre första kolonnerna är oberoende och den fjärde beror av de tre första. De fyra vektorerna kan inte spänna upp hela
\(\mathbb{R^4}\) eftersom ingen vektor i \(\mathbb{R^4}\) som är nollskilld i fjärde komponenten kan nås av matrisens kolonnvektorer.

Kolonnvektorerna som är oberoende är de kolonner som har ledande element i sig.

Hoppas detta var begripligt…
smile



Fred

publicerat den :: 2015 09 15

I flera fria variabler står i lösningen:
y=s och z=t
x=2y−2z−1=−2s+2t−1

Är teckenvändningen från variabel till parameter felaktig här? Var kommer den annars ifrån?

När man väljer godtyckliga multiplar på parametrarna, ser man på något smart sätt redan innan man sett parameterlösningen vilka multiplar som passar, eller anpassar man det i efterhand (för att slippa bråk etc)?

Mvh,
Fred



simon

publicerat den :: 2015 09 15

I svaret på frågan “2X2 sammanfallande linjer” så blir y = 3s. Har inte sett det i föreläsningarna. Varför sätter man y till 3s och inte bara till s?



Julia

publicerat den :: 2015 09 15

På frågan FLERA FRIA VARIABLER
varför går det från x=2y -2z -1 till -2s +2t. Har jag missat att man ska byta tecken?
Tack!



Pierina

publicerat den :: 2015 09 14

Glömde säga att det är en koefficient matris och inte en “augmented”



Pierina

publicerat den :: 2015 09 14

En vektor som denna

      1 0 0 4
A=  0 1 0 2
      0 0 1 2
      0 0 0 0

span inte i R^4. Varför?
tack!