föreläsning ::
Geometriska problem :: avståndsproblem

Hur man beräknar avstånd mellan punkter, linjer och plan.

Föreläsningens mål ::

Hur man beräknar avstånd mellan punkter, linjer och plan. Hur man beräknar volymer och areor. Man använder skalärprodukten, projektionsformeln och kryssprodukten

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 L11 050 Exempel: kryssprodukten används för att beräkna ett plans ekvation.

Geometriska problem :: avståndsproblem

×
se och kommentera
2 L11 020 Determinanten för en 3x3-matris beräknar en volym.

Geometriska problem :: avståndsproblem

×
se och kommentera
3 L11 040 Kryssproduktens egenskaper.

Geometriska problem :: avståndsproblem

×
se och kommentera
4 Verktygslåda för avståndsproblem

Geometriska problem :: avståndsproblem

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Se dokumentet  Att beräkna avstånd version 1.01

Rekommenderade uppgifter ::

» Att beräkna avstånd :: 1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 21

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning
1 Exempel på förenklade kryssproduktsberäkningar

Geometriska problem :: avståndsproblem

×
se och kommentera
2 Avstånd från punkt till plan

Geometriska problem :: avståndsproblem

×
se och kommentera
3 Avstånd från punkt till linje

Geometriska problem :: avståndsproblem

×
se och kommentera
4 Avstånd från en linje till en annan linje

Geometriska problem :: avståndsproblem

×
se och kommentera

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Att beräkna avstånd v1.01


annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Nyckelord



Lösta problem


  • avstånd mellan två linjer

    Problemforumulering:

    Beräkna avståndet mellan de två linjerna \[ \begin{split} L_1(s) &=(3,2,0)s +(1,-1,1)\\ L_2(t) &=(-1,1,1)t+(2,1,-1) \end{split} \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Strategin för lösningen följer följande plan:

    1. Bilda normalvektor till linjerna :: \[ n=v_1\times v_2=(3,2,0)\times (-1,1,1)=(2,-3,5) \]
    2. Bilda skillnadsvektor mellan linjerna \[ u=p_2-p_1=(2,1,-1)-(1,-1,1)=(1,2,-2) \]
    3. Projicera skillnadsvektorn på normalvektorn Själva vektorn behövs egentligen inte för att svara på uppgiften så man kan gå direkt till punkt 4, om man vill. \[ a=\proj_n u=\frac{u\bullet n}{||n||^2} n=\frac{u\bullet n}{||n||}\underbrace{\boxed{\frac{n}{||n||}}}_{\text{har längden 1}}=\cdots \]
    4. Avståndet är längden av projektionen \[ ||a||=\left|\frac{u\bullet n}{||n||}\right|=\left|\frac{-14}{\sqrt{38}}\right|=\frac{14}{\sqrt{38}} \]

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Skalärprodukten, ortogonalitet och projektion

Minsta kvadratmetoden >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


mikke

publicerat den :: 2017 01 08

@Micke

Bra jobbat Micke!

Du har rätt, det ska vara -8/6 men jag får avståndet till \(\sqrt{210}/6\).

mvh smile



Micke's avatar

Micke

publicerat den :: 2016 12 25

I 3:e videon ovan, avstånd från punkt till linje som är jättebra och instruktiv tror jag det vid cirka 7:00 görs ett mindre räknefel vid uträkningen av a vektorns sista koordinat som ska bli -8/6 och inte -13/6 vilket leder till att längden på a vektorn alltså svaret inte ska bli (sqrt35)/2 utan (sqrt210)/6. Rätta mig om jag har fel!



Fred

publicerat den :: 2015 12 17

Hej,

När jag löste uppgift 10 gick jag tillväga såhär:

Jag räknade ut normalvektorn n (-1, 2, 1) till de två parallella planen för linjerna, och tänkte att punkterna där linjerna är närmast varandra borde uppfylla l2(t) - l1(s) = cn, där c är någon konstant, d.v.s. skillnadsvektorn mellan de två punkterna borde vara i span{n}. Jag ställde upp detta som en augmented matrix:
1 -1 1 -1
1 0 -2 1
-1 -1 -1 0

~

1 0 0 0
0 1 0 -1/2
0 0 1 1/2

Vilket tolkas som punkterna l2(0) och l1(-1/2) vilket är samma som i facit, dock ser jag att lösningsmetoden är helt annorlunda. Eftersom jag tycker metoden jag använde var klart enklare att visualisera undrar jag om det finns några fällor med den, eller om jag kan fortsätta använda den med “gott samvete”?



mikke

publicerat den :: 2015 11 30

@Granit

När man beräknar skillnadsvektorn spelar det inte någon roll vilken av punkterna man tar först, från linje 1 till linje 2, eller från linje 2 till linje 1. Om man tänker efter så gäller ju att om man kallar den ena för \(u\) så kommer den andra vara \(-u\).

I min lösning får jag ju \((0,2,4)\) medan Du får \((0,-2,-4)=-(0,2,4)=u\).

Men vad händer sedan, när vi ska räkna ut först projektionen av denna på normalvektorn \(n=(-2,1,1)\) och sedan längden av denna projektion (som ju blir vårt avstånd):
\[|| Proj_n u || = \left|\frac{u\bullet n}{||n||}\right|=\left|\frac{-6}{\sqrt{6}}\right|=\sqrt{6},\]

Om Du får \(\sqrt{2/3}\) så verkar något ha vara fel,



mikke

publicerat den :: 2015 11 30

@Jonathan.t.bergman osv

Här är en ny lösning av uppgift 11 (och 15 som jag verkar ha dubblerat…)

\(P_2\cap P_3\) :  skärningslinjen är alla punkter som uppfyller båda planens ekvationer.

    Detta ger oss linjen \(l_1=(1,2,1)t+(3/2,1/2,0)\)

\(P_1\cap P_3\) :  skärningslinjen är alla punkter som uppfyller båda planens ekvationer.

    Detta ger oss linjen \(l_1=(1,2,1)t+(-1/2,-3/2,0)\)

Avståndet mellan linjerna:

  Vi noterar att linjerna är parallella. Vi bildar en skillnadsvektor mellan linjerna:  \(u=(3/2,1/2,0)-(-1/2,-3/2,0)=(2,2,0)\) .  Om vi
  drar bort projektionen av denna vektor längs linjernas riktningvektor \(k=(1,2,1)\)  så har vi en vektor
  \(u_\perp\) vars längd är avståndet mellan linjerna. Projektionen blir
 
  \[
  Proj_k u=\frac{u\bullet k}{||k||^2}k=\frac{6}{6}(1,2,1)=(1,2,1)
  \]

  Nu får vi att \(u_\perp=u-Proj_k u=(2,2,0)-(1,2,1)=(1,0,-1)\)
 
  Avståndet mellan linjerna blir nu

  \[
  ||u_\perp||=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}
  \]

mvh smile



jonathan.t.bergman@gmail.com

publicerat den :: 2015 11 29

Hej!

Jag undrar ifall det har blivit fel i uppgift 11/15.

Precis som Mikke fick jag P1ochP3 till (1,2,1)z+(-1/2,-3/2,0). I lösningsförslaget står dock att punkten är (-1/2,3/2,0), dvs 3/2 saknar minustecken.

På P2ochP3 får jag: (1,2,1)z+(3/2,1/2,0). I lösningsförslaget står det (1/2,3/2,0), men det kanske är jag som räknat fel.



Granit

publicerat den :: 2015 11 29

Hej Mikke,

Tack för ditt svar.

Angående fråga 12. Där får du skillnadsvektor genom att ta (1, 2, 3) - (1, 0, -1). Spelar det någon roll vilken av linjernas P man väljer att subtrahera? Du har P = (1 2 3) från linje 2 och subtraherar P (1 0 -2) som är från linje 1. Jag tog det för givet att man tar från första linjen och subtraherar punkten från andra linjen. Alltså, skillnandsvektor (1 0 -1) - (1 2 3) = (0, -2, -4). Så mitt resultat blev ju sqrt(2/3)

Hälsningar,
Granit



mikke

publicerat den :: 2015 11 27

Hejsan!

Det verkar som du har räknat rätt. Tack för det. Jag har uppdaterat dokumentet med en lösning med några fler detaljer. Detta kommer här också:

Lösning ::
Bilda skillnadsvektorn \(w\) mellan punkten \(p\) och punkten \(q=(2,-1,2)\) som ligger på linjen:
\[
w=(1,2,-1)-(2,-1,2)=(-1,3,-3)
\]
Projicera denna skillnadsvektor på linjens riktningsvektor.
\[
a=\proj_v w=\frac{w\bullet v}{||v||^2} v=\frac{5}{11}(1,3,1)
\]
Subtrahera denna projektion från skillnadsvektorn \(w\) och kalla denna nya vektor för \(d\) . (\(d\) är nu en ortogonal skillnadsvektor mellan punkten och linjen.)
\[
d=w-a=\frac{1}{11}(-16,18,-38)
\]


Avståndet från punkten till linjen är nu \(||d||=\sqrt{\frac{184}{11}}\)

Bra jobbat Granit!

smile



Granit

publicerat den :: 2015 11 26

God kväll,

Uppgift 3 får jag till sqrt(184/11). 
Vet inte vart jag gjort en miss för jag går försiktigt genom proceduren.



mikke

publicerat den :: 2015 11 25

@Ricky
Det första man behöver göra är att beräkna de två skärningslinjerna.

Skärningen mellan \(P_1\) och \(P_3\) (som betecknas med \(P_1\cap P_3\) är ju alla punkter som uppfyller både ekvationen för \(P_1\) och ekvationen för \(P_3\). Detta innebär att följande ekvationssystem ska lösas
\[
\begin{split}
-3x+y+z&=0\\
x-y+z &=1
\end{split}
\]
som på matris-form blir
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
-3 & 1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right]\sim
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & -\frac{1}{2} \\
0 & 1 & -2 & -\frac{3}{2} \\
\end{array}
\right]
\]
I den reducerade matrisen så identifierar vi ledande och fria variabler och då kan vi få fram första linjen som du ser i lösningen för uppgiften.

Den andra skärningslinjen beräknas på samma sätt.

Idén är sedan att Avståndet mellan linjerna beräknas sedan med idén som visas i exempel 2.6:  men här har vi en komplikation som kommer av att de två skärningslinjerna är parallella och vi får då inte fram någon normalvektor vinkelrät mot båda linjerna.

Det vinkelräta avståndet mellan linjerna får vi om vi projicerar skillnadsvektorn \(u\) på linjernas riktningsvektor. Denna projektion \(a\)  är då parallell med linjerna. Subtraherar vi denna projektion från skillnadsvektorn får vi en vektor \(b\) som går vinkelrät från den ena linjen till den andra linjen, och längden \(||b||\)  av denna vektor är vårt avstånd.

Se bifogad figur http://www.linearalgebra.se/arkiv/img/uppgift11.png

Hoppas detta hjälper!

mvh smile



Ricky

publicerat den :: 2015 11 24

Hej. Jag har problem med uppgift nr. 11. Jag vet inte hur jag ska börja med att lösa uppgiften. Tips mottages varmt.