föreläsning ::
Introduktion till determinanten.

Determinanten är en speciell funktion definierad på kvadratiska matriser. Determinanten ger villkor för inverterbarhet och determinanten har också flera geometriska betydelser som är användbara.

Föreläsningens mål ::

Vi lär oss vad determinanten är och metoder för att beräkna den. Vi lär oss kofaktorutveckling och hur man beräknar determinanten mha Gausselimination. I fallen \(2\times 2\) och \(3\times 3\) så lär vi oss Sarrus regel som bara funkar i dessa fall.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 L10 020 Determinantberäkning med Kofaktorutveckling.

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera
2 L10 010 Determinanten som ett villkor för Inversmatrisens existens.

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera
3 L10 050 Determinantberäkning m.h.a. Gausselimination.

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera
4 L11 010 Determinanten som area.

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera
5 L11 030 Kryssprodukten

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera
6 L11 040 Kryssproduktens egenskaper.

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera
7 L10 030 Exempel :: determinanten till en 3x3-matris.

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera
8 L10 040 Determinanträkning mha Sarrusregel:  Gäller bara 2x2 och 3x3 matriser.

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera
9 L11 020 Determinanten för en 3x3-matris beräknar en volym.

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera
10 L11 050 Exempel: kryssprodukten används för att beräkna ett plans ekvation.

Introduktion till determinanten.

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

DG= Mikael Forsbergs Determinanten med intro till kryssprodukten

Kapitel 3.1-3.3 i Lay.

Rekommenderade uppgifter ::

DG :: 1.1 » 1:1.1-1:1.8
DG:: 1.2 » 1:2.9-1:2.13
DG :: 2, 2.1-2.5 » 2:5.14-2:5.25
3.1 » 1, 3, 9, 11, 13, 17, 21, 23, 24, 39, 40
3.2 » 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 29
3.3 » 19, 20, 21, 22, 23, 25

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Determinanten med intro till kryssprodukten. 4x4 hybridexempel


annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • parameter för invers med determinant

    Problemforumulering:

    Bestäm de värden på \(a\) som gör att följande matris är inverterbar \[ \left[ \begin {array}{ccc} 1&2&3\\ 3&a&2\\ 1&3a&2a \end {array} \right] \] Bestäm inversen till matrisen för det minsta positiva värdet på \(a\) som gör matrisen inverterbar.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Vi använder satsen som säger att Matrisen är inverterbar \(\Leftrightarrow\) determinanten är skilld från noll. Determinanten blir \(2a^2+6a+4\) och denna har nollställena \(-1\) och \(-2\). Alla andra värden på \(a\) ger en inverterbar matris. \(a=1\) är det minsta positiva värdet som ger en inverterbar matris.

    ×
  • Beräkna determinanten med blandade metoder.

    Problemforumulering:

    Beräkna determinanten till matrisen genom att göra en blandning av determinantberäkningarna. \[ M\left[ \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right] \] Detta exempel finns också i Determinant kompendiet avsnitt 1.1.4

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Man kan använda antingen kofaktorutveckling eller Gausselimination för att beräkna matrisens determinant. I denna lösning kommer vi dock att göra en hybrid av metoder:

    1. Börja med att byta plats på två rader för att få en bättre utgångspunkt vid Gausseliminationen. (kom ihåg att vi då får ett teckenbyte i determinanten.)
    2. Utför vanlig Gausselimination för att få nollor nedanför första elementet i den första kolonnen.
    3. Determinanten för matrisen med nollkolonn reduceras till att beräkna determinanten för en 3x3-matris. Denna 3x3 determinant kan vi beräkna med Sarrus regel.
    Vi börjar med radbytet och Gausseliminationen: \[ M=\left[ \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 7 & -1 & -3 \\ 0 & 7 & -2 & -7 \\ 0 & 2 & -1 & -1 \\ \end{array} \right]=M_1 \] Notera att radbytet gör att vi har \(M=-M_1\) eftersom de vanliga radoperationerna som skapar nollorna inte påverkar determinanten. \noindent Kofaktorutveckling längs första kolonnen ger oss nu att \[ M_1=1\cdot (-1)^{1+1}\det \left[ \begin{array}{ccc} 7 & -1 & -3 \\ 7 & -2 & -7 \\ 2 & -1 & -1 \\ \end{array} \right]= \det \left[ \begin{array}{ccc} 7 & -1 & -3 \\ 7 & -2 & -7 \\ 2 & -1 & -1 \\ \end{array} \right]=-19 \] Där vi använt Sarrus regel för att beräkna \(3\times 3\)-matrisen: \[ \begin{split} \det&\left[ \begin{array}{ccc|cc} 7 & -1 & -3 &7&-1\\ 7 & -2 & -7 &7&-2\\ 2 & -1 & -1 &2&-1\\ \end{array} \right]=\\ &=7\cdot(-2)\cdot(-1) + (-1)\cdot(-7)\cdot 2+(-3)\cdot 7 \cdot (-1) \\ &-[(-3)\cdot(-2)\cdot 2 +7\cdot(-7)\cdot(-1)+(-1)\cdot7)\cdot(-1)]=\\ &=14+14+21 - 12 -49-7=-19 \end{split} \] Om vi sammanställer allt detta så får vi \[ M=-M_1=-(-19)=19 \]

    ×
  • System som beror av parameter.

    Problemforumulering:

    Beräkna de värden på parametern \(c\) som gör att systemet \(A_8x=b\), där \[ A_8=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\ -2 & c & 2 \\ -1 & -1 & c \\ \end{array} \right], \qquad b=\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right] \]

    1. har en unik, entydig lösning.
    2. har oändligt många lösningar
    3. saknar lösning

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Systemet har unik lösning endast i de fall där \(c\) är vald så att matrisen \(A_8\) är inverterbar. De andra två fallen är singulära och kräver att determinanten ska vara noll. Vi börjar därför med att försöka bestämma \(c\) så att determinanten är noll. Matrisens determinant blir \[ \det A_8=c^2 +5c-6=(c-1)(c+6) \] och faktoriseringen till höger får vi när vi använder kvadratkomplettering eller pq-formeln och får att andragradspolynomet har nollställena \(c=1\) och \(c=-6\). Dessa två värden gör att systemet antingen är olösbart och saknar lösning eller så har systemet många lösningar. Löser vi systemet för \(c=1\) så ser vi att systemet är konsistent :: \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \] Systemet har två ledande och en fri variabel och har därför har systemet i detta fall många lösningar. För \(c=-6\) så blir systemet inkonsistent: \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 2 \\ -2 & -6 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & -6 & 0 \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{19}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \] I den sista raden så ser vi att den har ledande element i höger led. Skriver vi upp ekvationen som denna sista rad ger så får vi likheten \(0=1\) som aldrig kan vara uppfylld. Värdet \(c=-6\) leder till ett system som saknar lösning, dvs är inkonsistent. För alla andra värden på \(c\) så har vi ett system där man får en unik lösning.

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Matriser och Matrisalgebra: matrisprodukten och inversen

Vektorrum och delrum >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


mikke

publicerat den :: 2016 12 14

@Micke

Determinanten har ju egenskapen att \(\det A=\det A^T\), där \(A^T\) är matrisens transponat, dvs har \(A\)‘s rader som kolonner. Detta innebär att det inte spelar någon roll om vektorerna står som rader eller kolonner.

Kryssprodukten är speciell och har standardbasvektorernas beteckningar \(\mathbf{i}\) , \(\mathbf{j}\) och \(\mathbf{k}\) i första raden. De två vektorernas koordinater skrivs i rad 2 och 3. Men man skulle även här kunna transponera och få samma sak.

mvh smile



Micke's avatar

Micke

publicerat den :: 2016 12 11

Jag är osäker på hur jag ska ställa upp vektorkoordinaterna för en och samma vektor i matrisen alltså i rader eller kolonner vid determinantuträkning, det verkar som det inte spelar nån roll eller?? Vid kryssproduktuträkning verkar det som man ska ställa upp vektorkoordinaterna i rader.



Micke's avatar

Micke

publicerat den :: 2016 12 09

Jag använder Windows 10 Browser Edge och för mig är det nåt fel med länken till första videon L10 020. Alla andra länkar funkar klockrent. Föreläsningarna är jättebra! Micke.



mikke

publicerat den :: 2016 12 09

@Micke
Jag kan inte se något problem med länkningen för videofilerna på denna sida. Det kanske var någon annan sida som du hittade den felande länken?

mvh smile
mikael forsberg



Micke's avatar

Micke

publicerat den :: 2016 12 08

Länken till den första videon på den här sidan verkar vara felaktig, den går till video #10 som handlar om kryssprodukter! Hej Micke.



mikke

publicerat den :: 2016 01 13

@Jocke011

Har du sett att jag lagt ut en ny föreläsning om kvadratiska former. Där finns det en video där jag löser ett liknande problem, men också videos som introducerar kvadratiska former och hur man representerar dem med matriser. Denna föreläsning borde ge tillräcklig bakgrund för att kunna följa lösningarna till uppgiften.



Jocke011

publicerat den :: 2016 01 12

okej vad bra då hade jag rätt.
Kan du förklara en sist fråga bara på övningstentan, jag förstår inte hur man ska räkna ut uppgift 14



mikke

publicerat den :: 2016 01 12

@Jocke011

Observera att det är fråga om tredimensionella vektorer. Som Du skrivit i din kommentar ser det ut som tvådimensionella.

För att beräkna arean av ett parallellogram spänt av två tredimensionella vektorer så beräknar man först kryssprodukten, som ju är en ny vektor. Längden av denna kryssproduktsvektor ger oss arean för parallellogrammet. Notera att det står fel svar i lösningen (se Granits kommentar)

mvh smile



Jocke011

publicerat den :: 2016 01 11

Jag har ett problem med areaberäkningen av paralellogrammet med vektorerna (1,03.5) och (2.5.,3) på den senaste övningstentan, annars har kryssprodukten fungerat för mig men av någon anledning fungerar det inte.
Hur är det meningen att man ska räkna ut arean i denna uppgift?



mikke

publicerat den :: 2015 11 09

Här är en bild till uppgift 2:5:24

http://www.linearalgebra.se/arkiv/img/bild4-2-24.png

mvh smile
mikael forsberg



Pierina

publicerat den :: 2015 11 07

Hej!
Jag skulle gärna vilja se en ritad bild på uppgiften 2:5:24 i “determinanten med intro till kryssprodukten”, har lite svårt att se hur det hänger ihop vektorerna i planet: z+y=0.

Tack!



mikke

publicerat den :: 2015 10 28

@Veronica

Du sa aldrig vad Du själv fått fram!

Jag hoppas att du fått \(\frac{\sqrt{11}}{11}\) som är samma sak som \(\frac{1}{\sqrt{11}}\).

Längden av vektorn \(a=\frac{1}{11}(-1,-1,3)\) är förståss
\[
||a||=||\frac{1}{11}(-1,-1,3)||=\frac{1}{11}||(-1,-1,3)||=\frac{1}{11}\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+3^2}=\frac{1}{11}\sqrt{11}
\]

I lösningen hade jag glömt ett divisionstecken så det såg lite konstigt ut, men jag har rättat och uppdaterat dokumentet.
Senaste versionen är 0.91.

Tack för korrekturläsningen!

mvh smile



Veronica

publicerat den :: 2015 10 27

Hej
I uppgift 2:5.23 i ditt dokument “determinanten med intro till kryssprodukten” kan jag beräkna skillnadsvektor, den vinkelräta vektorn och projektionen, men längden av vektorn(avståndet) får jag inte samma som i lösningen. Kan du visa hur du får ut den.
Tack!
Veronica



mikke

publicerat den :: 2015 10 24

@Granit

Det beror väl lite frågan. Om det ingår i frågan att motivera eller att härleda ett uttryck så måste man ju bifoga en härledning.
Det kan komma uppgifter som är av sådan teoretisk karaktär.

Men om uppgiften är att beräkna volymen av en parallellepiped given av ett antal vektorer så får man naturligtvis använda sig av en volymsformel utan att härleda formeln.

Härledningarna är ju snarare till för att Ni ska ha en chans att förstå varför t.ex. \(|\det A|\) blir arean av ett parallellogram.
Jag sjålv har lättare att minnas saker om jag sett en härledning av den. Och ibland kan en härledning belysa ett användbart arbetssätt.

mvh smile



Granit

publicerat den :: 2015 10 24

Hej,

I tentan, måste man kunna bevis för saker och ting?
T.ex., för att beräkna arean av ett parallelogram,
kan man ta |det A| utan att förklara varför |det A|
är arean?

Hälsningar,
Granit



mikke

publicerat den :: 2015 10 18

@Ulf

Det ska naturligvis vara \(ac+bd\) i täljaren.

Bra läst!

Det finns säkert fler små feltryck av den här typen och jag uppskattar att ni lusläser och rapporterar dessa så jag har en chans att uppdatera och förbättra mina dokument. Jag har nu lagt upp en ny version med denna ändring!

mvh smile



Ulf

publicerat den :: 2015 10 18

Kan du förtydliga ett av bevisen som finns i “Intro till Kryssprodukten”, sidan 11 avseende (1.1)? Varför blir skalärprodukten i täljaren mellan u och v =  (ac -bd), istället för (ac + bd)?

Mvh
Ulf