föreläsning ::
Introduktion till Gausselimination

Denna föreläsning introducerar Gausselimination som är det systematiska sätt som man använder för att lösa linjära ekvationssystem.

Föreläsningens mål ::

Ett system av ekvationer kan lösas genom att man succesivt löser ut en variabler ur en ekvation och sätter in detta i systemets övriga ekvationer. Det vi ska lära oss är att Gausseliminationen formaliserar precis detta och gör det systematiskt. Man får därmed en metod, ett arbetssätt som är enkelt och rationellt och som gör att man snabbare får fram alla lösningar med färre fel.

I denna första föreläsning koncentrerar vi oss på grunderna: hur man ställer upp systemets matris och hur man arbeter får att komma fram till systemmatrisens trappstegsform och reducerade trappstegsform. Från dessa trappstegsformer lär vi oss hur man läser av lösningen, ser om det överhuvud taget finns en lösning och hur många lösningar det i sådana fall finns. Kommande föreläsningar går djupare in i detaljerna.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 L2 Gaussintro 010

Introduktion till Gausselimination

×
se och kommentera
2 L2 Gaussintro 030

Introduktion till Gausselimination

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Lay kapitel 1.1-1.2

Rekommenderade uppgifter ::

1.1 » 1, 3, 5, 7, 9, 11, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25
1.2 » 1ad, 3 ,7, 9, 11, 15ab, 21, 22, 23, 24

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning
1 L2 Gaussintro 040

Introduktion till Gausselimination

×
se och kommentera
2 Lösning till Quizz1 uppgift 2

Introduktion till Gausselimination

×
se och kommentera

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Lay edition 3 update, Kapitel 1 Gaussanatomi :: vad gör man i Gausselimination


annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • Eliminationsuppgift

    Problemforumulering:

    Lös ekvationssystemet genom att eliminera \(x\) \begin{align*} x+2y &=2 \\ 3x-y & =-1 \end{align*}

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    För att eliminera \(x\) ur andra ekvationen så kan vi multiplicera första ekvationen med \(-3\) och addera till andra ekvationen. Vi får \begin{align*} x+2y &=2 \\ -7y &=-7 \end{align*} Från andra ekvationen får vi nu (genom att dividera båda led med \(-7\)) att \(y=1\). Första ekvationen ger sedan att \[ x=-2y+2=-2\cdot 1 +2=0 \] Lösningen är alltså \(x=0\) och \(y=1\).

    ×
  • Verifiera och eliminera

    Problemforumulering:

    Verifiera att \((x,y,z)=(1,2,-1)\) är en lösning till systemet \begin{align*} %\label{} 2x+y+3z &=1 \\ -x+y+2z &=-1 \\ x+y+z &=2 \end{align*} Utför operationer på ekvationerna så att först \(x\) och sedan \(y\) elimineras. Vad blir \(z\)? Börja med att byta plats på lämpliga ekvationer.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    För att kontrollera lösningen så sätter man helt enkelt in \(x=1\), \(y=2\) och \(z=-1\) i ekvationernas vänster led och kontrollerar att resultatet blir samma sak som i höger led.
    Vi utför eliminationsstegen:
    i :: Byt plats på ekvation 1 och 3 :: Vi byter plats på ekv. 1 och 3 snarare än 1 och 2 eftersom rad 3 har en etta framför \(x\) medan rad 2 har \(-1\) framför \(x\) och kräver en extra operation (multiplikation med \(-1\) för att få \(+1\). Vårt system är nu \begin{align*} x+y+z &=2 \\ -x+y+2z &=-1 \\ 2x+y+3z &=1 \end{align*}
    ii :: Eliminera \(x\) ur andra och tredje ekvationen :: För att eliminera \(x\) ur rad 2 och 3 kan vi addera rad ett till rad 2, multiplicera rad ett med \(-2\) och addera till rad 3. Vi får då systemet: \begin{align*} x+y+z &=2 \\ 2y+3z &=1 \\ -y+z &=-3 \end{align*}
    iii :: Byt plats på ekv. 2 och 3 :: Vi byter plats på rad \begin{align*} x+y+z &=2 \\ -y+z &=-3 \\ 2y+3z &=1 \end{align*}
    iv :: Eliminera \(y\) från rad 3 :: Addera 2 gånger rad 2 till rad 3. Snygga samtidigt till rad 2 genom att multiplicera\footnote{\small Man vill helst att första nollskillda elementet i en rad ska ha koeffecient 1} med \(-1\), dvs byt tecken i båda led. Vi får \begin{align*} x+y+z &=2 \\ y-z &=3 \\ 5z &=-5 \end{align*}
    v :: Lös ut \(z\) :: Det är nu enkelt att lösa ut \(z\) genom att multiplicera tredje ekvationen med \(1/5\) (dividera med \(5\) i båda led alltså.) Vi får \(z=-1\).
    vi :: Lös ut \(x\) och \(y\) :: \(y\) löser vi ut från ekvation 2 :: \(y=3+z=3-1=2\). \(x\) löser vi nu ut från ekvation 1 : \(x=2-y-z=2-2-(-1)=1\). Alltså \(x=1\), \(y=2\) och \(z=-1\) är lösningen till systemet.

    ×
  • Eliminationsövning

    Problemforumulering:

    Eliminera \(x\) från andra och tredje ekvationen för följande system \begin{align*} x-y+z &=2 \\ 3x+2y-z &=1 \\ 5x+y-3z &=-1 \end{align*}

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Multiplicera första ekvationen med \(-3\) och addera till andra ekvationen. Multiplicera första ekvationen med \(-5\) och addera till tredje ekvationen. Detta eliminerar \(x\) från ekvation 2 och 3, och resultatet blir \begin{align*} x-y+z &=2 \\ 5y-4z &=-5 \\ 6y-8z &=-11 \end{align*}

    ×
  • Sammanfallande linjeekvationer

    Problemforumulering:

    Rita upp linjerna \(2x-y=1\) och \(-4x+2y=-2\) och hitta de punkter som ligger på båda linjerna. Eliminera \(x\) från motsvarande system \begin{align*} 2x-y &=1 \\ -4x+2y &=-2 \end{align*} Vad händer? Hur tolkar du det.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    De båda linjerna sammanfaller vilket innebär att alla punkter på linjen uppfyller båda linjernas definitioner. Vi har alltså många lösningar. När vi eliminerar \(x\) ur andra ekvationen genom att ta \(2\) gånger första ekvationen och addera till andra raden så visar det sig att hela ekvationen försvinner, eller, mer exakt, man får \(0=0\). Detta kan vi tolka som att båda ekvationerna i själva verket är samma ekvation. De är här bara en konstant \(-2\) gånger varandra. Den andra ekvationen är helt enkelt onödig. Nollekvationen, (den som försvunnit) är en linjärkombination av den första och den andra ekvationen. Operationerna vi gör på de två första ekvationerna är att 2 gånger ekvation 1 plus ekvation 2 blir nollekvationen: \[ \underbrace{2\cdot \text{ekvation 1 }+\text{ ekvation 2}}_{\text{linjärkombination av ekvationerna}}= \text{ nollekvationen } \]

    ×
  • Inkonsistent system.

    Problemforumulering:

    Eliminera \(x\) och sedan \(y\) från de resulterande två sista ekvationerna. \begin{align*} x-y-z &=1 \\ 2x-y-z &=1 \\ -3x+2y+2z &=1 \end{align*} Har systemet lösning?

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    När vi eliminerar så får vi noll i vänster led. Men i höger led är det inte noll och vi har då en omöjlighet/inkonsistens och systemet saknar alltså lösning.

    ×
  • 2x2 ekvationssystem

    Problemforumulering:

    Lös ekvationssytemet \begin{eqnarray} 2x+ 3y & = & 1 \\ 4x-2y & = & 1 \end{eqnarray}

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[\begin{array}{cc|c}2 & 3 & 1 \\4 & -2 & 1\end{array}\right]\sim\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{5}{16} \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} \\ \end{array} \right] \]

    ×
  • matrissystem

    Problemforumulering:

    Lös systemet \[ \left[\begin{array}{cc|c}-3 & 1 & 1 \\3 & -1 & -1\end{array}\right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[\begin{array}{cc|c}-3 & 1 & 1 \\3 & -1 & -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] \] \(x\) ledande och \(y=3s\) fri. Rad 1 ger \(-3x+y=1\) vilket ger \(x=\frac{1}{3} y-\frac{1}{3}=s-\frac{1}{3}\) Lösningen på parameterform blir \[ \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1 \\3\end{array}\right]s+\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3} \\0\end{array}\right] \]

    ×
  • 3x3 system

    Problemforumulering:

    Lös ekvationssystemet \begin{eqnarray*} x+y+3z & = & 1 \\ x-2y+z & = & -1\\ 2x+y+2z & = & -2 \end{eqnarray*}

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 \\ \end{array} \right]\sim \left] \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \]

    ×
  • 3x3 matrissystem

    Problemforumulering:

    Lös ekvationssystemet \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right] \]

    ×
  • 3x3 ekvationssystem

    Problemforumulering:

    Lös ekvationssystemet \begin{eqnarray*} -x+3y+z & = & 2 \\ 2x+2y+z & = & 3\\ -3x+y+z & = & -1 \end{eqnarray*}

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Skriv på matrisform och Gauss-Jordan eliminera \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} -1 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ -3 & 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{5}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{7}{8} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \]

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Vektorer och vektorräkning

Gausselimination :: de singulära fallen >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


mikke

publicerat den :: 2015 09 24

@Hileen.m
Det finns lösningar till alla uppgifterna i Lay’s bok. När du är inloggad här på sajten, gå till
http://www.linearalgebra.se/kursbok/kursbok-view/lay-linear-algebra

Där hittar du alla lösningar till olika upplagor av Lay´s bok.

mvh smile



Hileen.m

publicerat den :: 2015 09 23

Hej!

Jag håller på gör rekommenderade uppgifter, vissa uppgifter är jag osäker på om mina svar stämmer. Undrar därför om det finns svar till dessa?

Med vänlig hälsning,

Hileen



mikke

publicerat den :: 2015 09 11

@Ricky

Du ställer en perfekt avtajmad fråga!

Hur man hanterar ledande och fria variabler och hur man ställer upp lösningar på parameterform är precis vad nästa föreläsning handlar om. Jag rekommenderar dig därför att helt enkelt gå vidare. Du har rätt frågor och svaren finns i nästa föreläsning.
mvh smile
mikael forsberg



Ricky

publicerat den :: 2015 09 11

Hej. Jag har inte riktigt förståt hur man ska gå till väga när man ska ta fram en lösning på parameterform. Jag har inte förståt vad som är ledande variabel och fri variabel, samt när man ska använda t och s.



mikke

publicerat den :: 2015 09 09

@Pierina igen!

Nej den matrisen är inte i reducerad form eftersom vi har ett ledande element i sista raden (tvåan). Matrisen är inte reducerad eftersom det inte står nollor ovanför denna. (Vi har ju trean i rad 2).

Helst ska man då dividera denna rad med två så att vi får en ledande etta. Sedan använder man sista raden för att
eliminera de tal som står ovanför denna ledande ett. Vi tar då sista raden gånger -3 och adderar till rad 2 och då försvinner trean…

mvh smile



Pierina

publicerat den :: 2015 09 09

Ja, tack!

1 0 0 0
0 1 0 3
0 0 0 2

Räknas detta som en reducerad form med?



mikke

publicerat den :: 2015 09 09

@Pierina

Jo, det stämmer att matrisen
\[
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\]
är på reduced row echelon form (reducerad trappstegsform). Det beror på att det är nollor ovanför de ledande ettorna. Genom återsubstitution (elimination nerifrån och uppåt) så kan man alltid göra detta.
Notera att sista radens etta också är ledande och att vi har nollor också ovanför denna.

Du ställde aldrig frågan men det som kan ge upphov till osäkerhet är den nedersta raden. Om matrisen svarar mot ett ekvationssystem så ska man tolka matrisens fjärde kolumn som ett högerled. Jag skriver då alltid matrisen som
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\]
där det lodräta strecket skiljer koeffecientmatrisen från högerledet.  Lay verkar utelämna detta streck i sina augmented matriser, vilket ibland ger upphov till frågetecken.
Som matrisekvation så har vi nu ett system med två ledande variabler (svarar mot de ledande ettorna i första och andra kolonnen och en fri från tredje kolonnen. Men vi har ett ledande element i höger led och detta talar om för oss att systemet är inkonsistent.  Jag försökte hitta igen en sats i boken men kunde inte hitta den (kanske minns jag någon annan gammal bok)
så jag skriver ner den här istället.

Sats
Om ett ekvationssystem ger oss den utvidgade (augmented)  matrisen
\[ [A|b]\]
och detta systems reducerade form har ledande element i höger led (dvs kolonnen längst till höger) så är systemet inkonsistent och saknar lösningar.

Exempel ::
\[
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & -1 & -2 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right]\sim
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -\frac{1}{3} & 0 \\
0 & 1 & \frac{5}{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\]
där \(\sim\) betecknar alla Gauss-Jordan steg som krävs för att radreducera den vänstra matrisen.
I den sista raden så har vi ett ledande element i höger led och indikerar att systemet är inkonsistent. Tolkar vi sista raden som en ekvation får vi ju också
\[
0\cdot x+ 0\cdot y +0\cdot z =1 \quad\Leftrightarrow\quad 0=1
\]
och denna ekvation kan ju aldrig uppfyllas vilket betyder att systemet är inkonsistent och saknar lösningar.

Jag vet inte om detta var vad du undrade över så jag svarade på saker som tidigare studenter blivit osäkra på. Hoppas det hjälper!

smile



Pierina

publicerat den :: 2015 09 08

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1

Vad sägs om denna matris? Enligt boken “Lay” , är en “reduced echelon form”?



mikke

publicerat den :: 2015 09 07

@Pierina

1.) Enda anledningen att jag satt \(y=3s\) är att man då får bort bråket i lösningens riktningsvektor. Ofta använder man \(y=s\) och då får man \(x=\frac{1}{3}\) i riktningsvektorns förstakomponent.  Om Du väljer \(y=7s\) så blir förstakomponenten av riktningsvektorn i stället \(\frac{7}{3}\) och man får då en mer komplicerad vektor.  Men det är fullt tillåtet och det finns situationer när detta är önskvärt. Men oftast är det det enklaste uttrycket som man vill ha.

2.) I problemet inkonsistenta system var det ett feltryck. Det saknades ett minustecken framför \(z\) i andra ekvationen. Detta är åtgärdat nu. Jättebra att du räknar genom detta och kontrollerar. Jag har ingen som korrekturläser det jag publicerar och då och då slinker det genom några fel. Jag är tacksam för att du meddelar detta så att vi kan få en bättre sajt!

smile



Pierina

publicerat den :: 2015 09 07

Hej!

1) I den föregående fråga undrar varför just z = 3 s? Kunde vara någon annan konstant typ z= 7 s?


2) Under “inconsistent system”, kunde hitta lösningar.
  z= 3/2, y = -11/2, x= -3, alltså det har en lösning.

Tack! smile



mikke

publicerat den :: 2015 09 07

@Pierina

Efter Gausseliminationen har vi en nollskilld rad:  -3 1 | 1 som betyder att \(-3x+y=1\) och ger att \[x=\frac{1}{3}y -\frac{1}{3}\]
Och eftersom vi satt den fria variabeln till \(y=3s\) så får vi att
\[x=\frac{1}{3}y -\frac{1}{3}=\frac{1}{3}3s -\frac{1}{3}=s-\frac{1}{3}\].

Men i min lösning stod det \(+\frac{1}{3}\), eller hur?
Bra upptäckt, jag korrigerar detta på en gång!
Tack för hjälpen!

smile



Pierina

publicerat den :: 2015 09 06

“Lösta problem” - “matrissystem”
Undrar om det inte ska stå -1/3 istället i parameterform? smile