föreläsning ::
Kvadratiska former

I denna föreläsning så visar vi hur vi kan använda diagonalisering för att klassificera och arbeta med kvadratiska former.

Föreläsningens mål ::

Här lär vi oss vad kägelsnitt, kvadratiska former och ekvationer är. Vi visar hur man använder matriser för att representerar formerna och hur diagonalisering av dessa matriser hjälper oss att skriva formen på en enkel form så att vi kan identifiera vilken sorts kvadratisk form det är.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 Kägelsnitt

Kvadratiska former

×
se och kommentera
2 Kvadratisk form

Kvadratiska former

×
se och kommentera
3 Kvadratisk ekvation

Kvadratiska former

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Rekommenderade uppgifter ::

7.2 » 7.2: 1, 2, 3, 5, 9, 15, 17

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning
1 diagonalisering av kvadratisk ekvation

Kvadratiska former

×
se och kommentera

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Inga extradokument tillgängliga för denna föreläsning




annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Nyckelord



Lösta problem


  • klassificering av kägelsnitt

    Problemforumulering:

    Följande ekvation beskriver ett kägelsnitt: % \[ x^2+xy+y^2=1. \] % Vilken sorts kägelsnitt är det fråga om? Hitta en rotation som eliminerar den blandade termen \(xy\).

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Vi ställer först upp ekvationen på matrisform: \[ \mathbf{x}^tA\mathbf{x}=1, \] där \[ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right],\quad \text{ och }\quad A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1/2 \\1/2 & 1\end{array}\right] \] % Vi söker en ortogonal matris (som i vårt fall ska vara en rotation) som diagonaliserar \(A\). \begin{enumerate} \item Vi börjar med egenvärdena: Det karakteristiska ekvationen blir: \[ 0=\det(A-\lambda I)=4\lambda^2-8\lambda+3, \] som har lösningarna \(\lambda=1/2\) och \(\lambda=3/2\) Eftersom båda egenvärdena är positiva (men olika) så vet vi att kägelsnittet är en ellips. \item För att få fram rotationen så behöver vi beräkna egenvektorerna. Dessa blir: \[ e_{\lambda=1/2}=(-1,1),\quad\text{ och }\quad e_{\lambda=3/2}=(1,1) \] \item Vi normerar dessa vektorer och sätter in dessa i en matris. Ordningen är viktig eftersom vi söker en rotation. För en rotation så är determinanten 1. Ställer vi upp matrisen \[P=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\1 & 1\end{array}\right] \] så ser vi att vi har en matris med determinanten 1. Motsvarande diagonalmatris blir därför \[ D=P^TAP=\left[\begin{array}{cc}3/2 & 0 \\0 & 1/2\end{array}\right] \] Utför vi rotationen så kommer ekvationen för vårt kägelsnitt att bli \(\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2=1\) eller enklare \(3x^2+y^2=2\).

    ×
  • Diagonalisering av kvadratisk ekvation

    Problemforumulering:

    (Detta är uppgift 14 på övningstenta ht2015-1) Följande kvadratiska ekvation definierar en ellips vars centrum inte ligger i origo. \[ 5x^2-4xy+8y^2+4\sqrt{5}x-16\sqrt{5}y+4=0 \] Beräkna ett basbyte tillsammans med en translation till ellipsens centrum och skriv ellipsen i de nya basvektorerna relativt ellisens centrum. Ange också \((x,y)\)-koordinaterna för ellipsens centrum. Hint :: diagonalisera den kvadratiska formen}

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Vi skriver ekvationen på matrisform \[ x^TAx+Kx +4=0, \] där \[ x=\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right],\quad A=\left[\begin{array}{cc}5 & -2 \\-2 & 8\end{array}\right]\quad\text{ och }\quad K=\left[\begin{array}{cc}4\sqrt{5} & -16\sqrt{5}\end{array}\right] \] Vi ortogonalt diagonaliserar den symmetriska matrisen \(A\). Dettta innebär att vi beräknar en ortogonal matris \(P\) (vars kolonner är ortogonala egenvektorer till \(A\)) Egenvärden till \(A\): \[ c(\lambda)=\det (A-\lambda I)=\det\left[\begin{array}{cc}5-\lambda & -2 \\-2 & 8-\lambda\end{array}\right]=\lambda^2-13 \lambda+36 \] Egenvärdena blir \(\lambda_1=4\) och \(\lambda_2=9\). Egenvektorerna blir, \(\lambda_1=4\): \[ 0=A-\lambda I=\left] \begin{array}{cc|c} 1 & -2 &0\\ -2 & 4 &0\\ \end{array} \right]\sim \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \] På samma sätt får vi att egenvektorerna till \(\lambda_2=9\) blir \[ \left[\begin{array}{c}-1 \\2\end{array}\right]t \] som ger oss egenvektorerna \[\left[\begin{array}{c}2 \\1\end{array}\right]t\] Vektorerna är naturligtvis ortogonal (de är ju egenvektorer till två olika egenvärden till en symmetrisk matris och ska därför vara ortogonala). Normerar vi dessa och ställer in dem i en matri så har vi vår ortogonalt diagonliserande matris \(P\): \[ P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\1 & 2\end{array}\right] \] Matrisen \(P\) ger oss basbyte \(x=Px'\): \[ x'\underbrace{P^TAP}_{=D}x'+KPx'+4=0 \] Vilket ger oss \[ [x'^2,y'^2]\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\0 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x' \\y'\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{cc}-8 & -36\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x' \\y'\end{array}\right]+4=0 \] Utvecklar vi alla matrisprodukter så får vi \[ 4x'^2+9y'^2-8x'-36y'+4=0 \] Kvadratkomplettera i \(x'\) och \(y'\) för sig: \[ 4(x-1)^2-4 +9(y'-2)^2-36 +4=0 \] som förenklas och blir \[ 4(x-1)^2+9(y'-2)^2=36 \] Substitutionen \(x''=x'-1\) och \(y''=y'-2\) ger oss den slutliga förenklingen \[ 4x''^2+9y''2=36 \] som också kan skrivas som \[ \frac{x''^2}{9}+\frac{y''^2}{4}=1 \] I de de dubbelprimmade koordinaterna så är ellipsens centrum i origo, i de primmade koordinaterna så ligger centrum i \((1,2)\). För att beräkna centrum i de oprimmade koordinaterna så behöver vi använda att \(x=Px'\) och då får vi centrumkoordinaterna \[ \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}1 \\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\\sqrt{5}\end{array}\right] \]

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Ortogonal diagonalisering

SVD Singular Value Decomposition >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::