föreläsning ::
Linjära avbildningar och deras matriser

Linjära avbildningar är något som tar vektorer som input och gör om dem till nya vektorer. När vi arbetar inom en referensram (med en bas) så blir varje linjär avbildning en matris. Här introduceras linjära avbildningar eller linjära transformationer som de också kallas. Vi studerar några enkla avbildningar såsom rotationer och speglingar.

Föreläsningens mål ::

Målet är att lära oss vad linjäritet innebär och vad en linjär transformation är för något. Det är viktigt att känna till ett antal enkla exempel. Vi studerar speglingar och rotationer. Varje linjär avbildning kan representeras av en matris. Vi lär oss här att man använder referensramens basvektorer och tar reda på vad som händer med dem när vi stoppar in dem i vår avbildning. De resulterande vektorerna är kolonnvektorerna i den linjära avbildningens matris.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 Linjär funktion

Linjära avbildningar och deras matriser

×
se och kommentera
2 Linjär funktion exempel

Linjära avbildningar och deras matriser

×
se och kommentera
3 Linjär funktion :: exempel 2

Linjära avbildningar och deras matriser

×
se och kommentera
4 Linjär funktion :: exemplet spegling i x-axeln

Linjära avbildningar och deras matriser

×
se och kommentera
5 Linjär Funktion :: Rotation med vinkeln alfa

Linjära avbildningar och deras matriser

×
se och kommentera
6 Sammansättning av avbildningar

Linjära avbildningar och deras matriser

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Lay kapitel 1.8 och 1.9

Rekommenderade uppgifter ::

1.8 » 1, 3, 5, 7, 9, 11 19, 21, 22
1.9 » 1, 3, 5, 11, 15, 17, 23, 24

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Lösningar till Inlämningsuppgift 1 Deadline 20161205 Lay edition 3 update, Kapitel 1 Spegling i linje


annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • T-20150114 uppgift 3

    Problemforumulering:

    Beräkna matriserna för följande operationer
    a.) Rotationen \(R_{30}\) moturs med \(30°\).
    b.) Speglingen \(S_y\) i \(y\)-axeln.
    c.) Rotationen \(R_{-60}\) medurs med \(60°\)
    d.) Den avbildning \(A\) som är resultatet av att vi först roterar \(30°\) moturs, sedan speglar i \(y\)-axeln och slutligen roterar \(60°\) medurs. Identifiera den resulterande avbildningen, vad betyder den geometriskt?

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    a.) \[ R_{30} =\left[\begin{array}{cc}\cos\pi/6 & -\sin\pi/6 \\\sin\pi/6 & \cos\pi/6\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}/2 & -1/2 \\1/2 & \sqrt{3}/2\end{array}\right] \]

    b.) \[ S_y=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right] \]

    c.) \[ R_{-60}=\left[\begin{array}{cc}\cos-\pi/3 & -\sin-\pi/3 \\\sin-\pi/3 & \cos-\pi/3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2& 1/2\end{array}\right] \]

    d.) Den sökta avbildningen är produkten av matriserna i rätt ordning. Den första avbildningens matris ska stå längst till höger och de efterföljande till vänster om den första. % \[ \begin{split} A=R_{-60}S_yR_{30} &= \left[\begin{array}{cc}1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}/2 & -1/2 \\1/2 & \sqrt{3}/2\end{array}\right]=\\ &=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right] \end{split} \] % Den resulterande matrisen svarar geometriskt mot en spegling i linjen \(y=x\).

    ×
  • T-20121101

    Problemforumulering:

    Beräkna matrisen för den avbildning som först speglar alla vektorer i planet i \(x\)-axeln och sedan roterar vektorerna moturs \(\pi/2\). Identifiera vad denna avbildgningsmatris betyder geometriskt för vektorerna i planet.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Mha av bilden nedan så ser vi att avbildningen verkar på standardbasvektorerna \[ \left[\begin{array}{c}1 \\0\end{array}\right]\mapsto \left[\begin{array}{c}0 \\1\end{array}\right]\quad\text{ och }\quad \left[\begin{array}{c}0 \\1\end{array}\right]\mapsto \left[\begin{array}{c}1 \\0\end{array}\right] \] Från detta får vi alltså direkt att matrisen för avbildningen blir \[ \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0\end{array}\right] \] som vi kan identifiera som en spegling i linjen \(y=x\).

    Se bilden till uppgiften som illustrerar vad som händer med standardbasvektorerna då vi först speglar i \(x\)-axeln och sedan roterar med \(\pi/2\), dvs rotation med 90°.

    ×
  • T-20130820

    Problemforumulering:

    Matrisen för en spegling i en godtycklig linje genom origo kan beräknas genom att först rotera linjen så att den sammanfaller med \(x\)-axeln, sedan spegla i \(x\)-axeln och slutligen rotera allt tillbaka,

    Visa att detta stämmer i det fall vi vill spegla i linjen \(y=x\). Dvs, skriv matrisen för speglingen i \(y=x\), \(S\) i som en produkt av matriserna för rotation \(R_1\) medurs av linjen till \(x\)-axeln, \(S_x\) spegling i \(x\)-axeln samt rotation moturs tillbaka \(R_2\). Alla ingående rotations och speglingsmatriser skall anges samt den produkt som ger oss speglingsmatrisen för spegling i \(y=x\).

    Bildtexten ska vara :: Dekonstruktion av Spegling i godtycklig linje genom origo: först roterar vi vinkeln \(\beta\) medurs, sedan speglar vi i \(x\)-axeln och slutligen roterar vi moturs med vinkeln \(\beta\)

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Matrisen för speglingen i \(y=x\) blir \[ S=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0\end{array}\right] \] ty \((1,0)\) avbildas till \((0,1)\) och \((0,1)\) avbildas till \((1,0)\) av denna spegling. Dessa resulterande vektorer är ovanstående matris' kolonnvektorer. Linjen \(y=x\) bildar vinkeln \(\phi=\pi/4\) (45°) med \(x\)-axeln. Den första rotationen sker medurs , vinkeln blir alltså \(-\pi/4\) och vi har därför \[ R_1=\left[\begin{array}{cc}\cos -\pi/4 & -\sin-\pi/4 \\\sin-\pi/4 & \cos-\pi/4\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 1\end{array}\right] \] På samma sätt har vi att \[ R_2=\left[\begin{array}{cc}\cos \pi/4 & -\sin\pi/4 \\\sin\pi/4 & \cos\pi/4\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\1 & 1\end{array}\right] \] Speglingen i \(x\)-axeln blir \[ S_x=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1\end{array}\right] \] % När vi sätter samman operationerna så är det viktigt att ordningen blir den rätta (eftersom matrismultiplikationen inte är kommutativ). Den första operationen ska stå längst till höger och den sista ska stå först. I vårt fall har vi att rotation medurs, spegling i x samt rotation moturs ger oss \[ R_2S_xS_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1\end{array}\right] }_{\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & -1\end{array}\right]}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 1\end{array}\right] =\frac{1}{2}\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & -1\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 1\end{array}\right] }_{=\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\2 & 0\end{array}\right]} =\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0\end{array}\right]=S \]

    ×
  • T-20140115

    Problemforumulering:

    Givet en rät linje \(y=k x\) så vill vi beräkna matrisen till den avbilding som geometriskt är speglingen i denna linje. Denna spegling kan tolkas som sammansättningen av att först rotera linjen så att den sammanfaller med \(x\)-axeln, sedan spegla i \(x\)-axeln och slutligen rotera tillbaka till linjens ursprungliga position. Beräkna matrisen \(S_L\) som utför spegling i linjen \(y=\sqrt{3}\ x\), dvs spegling i den linje som har lutningskoeffecienten \(k=\sqrt{3}\).

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Vår räta linje bildar vinkeln \(\pi/3\) eller 60° med \(x\)-axeln. Detta gör att den första rotationen sker med 60° medurs, eftersom moturs rotationsriktning definieras som positiv riktning så innebär detta att vår rotation är en rotation med -60°. Denna rotation realiseras mha matrisen \[ R_1=\left[\begin{array}{cc}\cos(-\pi/3) & -\sin( -\pi/3) \\\sin (-\pi/3) & \cos(-\pi/3)\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] \] Med den andra rotationen så ska vi rotera tillbaka till ursprungspositionen vilket alltså är en rotation med vinkeln 60° moturs, vilket ger följande matris. \[ R_2=\left[\begin{array}{cc}\cos(\pi/3) & -\sin (\pi/3) \\\sin (\pi/3) & \cos(\pi/3)\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] \] Speglingen i \(x\) axeln ges av matrisen \[ S=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1\end{array}\right] \] Speglingen \(S_L\) i linjen ges enligt uppgiftsformuleringen av att man först roterar med \(R_1\) varefter vi utför speglingen \(S\) och slutligen roterar tillbaka med \(R_2\) Sammansättningen blir en matrisprodukt där den första operationens matris ska stå längst till höger och de övriga två till vänster om denna: \[ S_L=R_2\cdot S\cdot R_1= \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right] \]

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Linjärt beroende/oberoende och Gaussmaskinen

Matriser och Matrisalgebra: matrisprodukten och inversen >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


mikke

publicerat den :: 2016 12 05

@Micke

En grafisk lösning kan räcka. Men ofta formulerar jag frågan så att man dels måste beräkna de ingående avbildningarnas matriser ska beräknas och att man ska använda matrismultiplikationen som beräknningsmetod.

Det man vill testa med en sådan uppgift är

1. Att ni studenter kan beräkna matrisen som hör ihop med en viss avbildning.  (Se vad som händer med standardbasen)
2. Att ni kan ställa upp matriserna i rätt ordning (Den första står längst till höger, de andra till vänster om den första)
3. Att ni kan utföra matrismultiplikation. (Raderna i A skalärmultipliceras med kolonnerna i B när man beräknar produkten AB) 

Den grafiska metoden hjälper oss att tänka, att få ordningen rätt.

mvh smile



Micke's avatar

Micke

publicerat den :: 2016 12 01

På lösta problem fråga T-20121101 undrar jag om det räcker med att lösa den grafiskt så att säga eller behöver man visa det även matematiskt om en sån fråga skulle dyka upp på tentan och inget speciellt anges. I svaret verkar det som att det räcker grafiskt. Man kan ju göra det grafiskt på d på frågan innan också och slippa 2 svettiga matrismultiplikationer. Hej Micke.



mikke

publicerat den :: 2015 10 10

@Granit
Skillnaden mellan de båda påståendena ligger i dimensionen på rummen som avbildningen går mellan.

En avbildning mellan två ändligtdimensionella rum, t.ex. \(\mathbf{R}^n\) och \(\mathbf{R}^m\) kan alltid beskrivas med en matris (en \(m\times n\) matris) Om varje \(m\times n\)-matris avbildar mellan ändligt dimensionella rum.

Alltså så for vi har en linjär avbildning från ett ändligtdimensionellt rum till ett annan ändligtdimensionellt rum så “är” detta en matris. Man använder de ändliga baserna för att få fram matrisen

Men om vi har oändligtdimensionella rum så är det en helt annan sak.

Exempelvis så är derivering en linjär funktion från vektorrummet av alla oändligt deriverbara funktioner definierade på intervallet \((0,1)\) tillbaka till samma rum av oändligt deriverbara funktioner.

\[\frac{d}{dx}(af(x)+bg(y))=a[\frac{d}{dx}f(x)]+b[\frac{d}{dx}g(x)]=af’+bg’\]

Men dessa funktionsrum är oändligtdimensionella eftersom funktionerna alla monom tillsammans,
\(\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\), är en bas i sådana rum. Att uttrycka funktioner m.a.p en sådan bas leder till komplicerade konvergensproblem och om vi försöker uttycka derivatanavbildningen som en matris så skulle den bli oändligt stor. Man arbetar i stället på andra sätt när man har sådana funktionsrum.

Dessa funktionsrum är mycket viktiga men vi får vänta till kurser i funktionalanalys på högre nivå innan vi kan få grepp om dessa.

mvh smile



Granit

publicerat den :: 2015 10 10

Hej!

En fråga
På sida 65 i boken står det ”Every matrix transformation is a linear transformation.
Important examples of linear transformations that are not matrix transformations” will be discussed later

På s71 precis innan exempel 2 står det ”We now know that every linear transformation from Rn to Rm can be viewed
as a matrix tranformation, and vice versa”.

Dessa två meningar är inte motsägande misstänker jag, men vari ligger skillnaden?

Hälsningar,
Granit



mikke

publicerat den :: 2015 10 10

@JonasL
När vi roterar medurs med 60° =\(\pi/3\) radianer, så får vi vinkeln \(-\pi/3\) (medurs är negativ riktning). Rotationsmatrisen blir då
\[
\left[
\begin{array}{cc}
\cos (-\pi/3) & -\sin (-\pi/3) \\
\sin (-\pi/3) & \cos (-\pi/3) \\
\end{array}
\right]
\]
Vad som händer sedan är att vi uttnyttjar egenskaper för cosinus och sinus, nämligen att cosinus är en jämn funktion och sinus är en udda funktion:
\[
\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin -x=-\sin x
\]
och därför blir vår rotationsmatris lika med
\[
\left[
\begin{array}{cc}
\cos (\pi/3) & \sin (\pi/3) \\
-\sin (\pi/3) & \cos (\pi/3) \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\
\end{array}
\right]
\]
Vilket innebär att det verkligen blir \(+1/2\) i vänstra övre och nedre högra.

mvh smile



JonasL

publicerat den :: 2015 10 10

Hej!

Jag har en fråga om “lösta problem - T-20150114 Uppgift 3” Deluppgift c när man ska rotera medurs 60 grader. Ska det inte vara minustecken framför svaren 1/2 (i övre vänstra hörnet och nedre högra hörnet av matrisen)?

Salut!



mikke

publicerat den :: 2015 10 09

@Oze12345

Tentan är inte lagd ännu. Jag har lämnat in önskemål om tentamensläggning men har inte fått något svar ännu. Jag måste kolla vad som händer med det. Vi har i övrigt inga obligatoriska träffar i linjär algebrakursen (annat än tentan).

Envariabelanalys på distans ges av Xiaoxin Wang, Du får kontakta henne om träffarna i den kursen.

mvh smile



Oze12345

publicerat den :: 2015 10 08

Hej Mikke, har du fått något datum/tid då vi kommer att ha tentamen på kursen? Kommer inte ihåg, är tentan den enda obligatoriska träffen eller var det en gång till. Vore toppen ifall du kunde återkomma med tiden/datumet när du har möjlighet (om det är fastställt vill säga).

Du kanske också möjligtvis vet vem som kommer att vara ansvarig för er kurs “envariabelanalys” (på distans) nu senare i höst, (som jag också ska läsa). Den kursen har 4 obligatoriska träffar så det vore också bra att veta när de infaller…

Tack på förhand, //Oscar



mikke

publicerat den :: 2015 10 07

@Julia.

Bra fråga!

Det vi håller på att komma fram till är att en matris kan ses som en funktion (kallas avbildning i linjär algebra).
En funktion är något som tar input och gör om det till output och i fallet med en matris så tar den en vektor (som också är ett talpar) och så spottar den ut en annan vektor.
Vad speglingsmatrisen
\[
S_x=\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\]
gör är att den tar en punkt/vektor \((x,y)\) och spottar ut punkten/vektorn \((x,-y)\).

Rent algebraiskt går det till så att matrisen \(S_x\) multipliceras med punkten \((x,y)\) skriven som kolonnmatris:
\[
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
x \\
- y \\
\end{array}
\right]
\]
Detta kanske inte är alldeles glasklart ännu, eftersom vi ännu inte lärt oss hur man multiplicerar matriser med varandra.
Men det kommer vi till snart.

Poängen är att denna multiplikation gör att matrisen ger oss en algebraisk version för den geometriska operationen att vi speglar en punkt/vektor i x-axeln.

hoppas detta hjälper…
mvh smile



Julia

publicerat den :: 2015 10 07

Hej!
Vad menas med att den resulterande matrisen svarar geometriskt mot en spegling i linjen y=x?
Med vänlig hälsning / Julia