föreläsning ::
Linjärt beroende/oberoende och Gaussmaskinen

Linjärt beroende och oberoende är ett centralt och viktigt begrepp i linjär algebra.

Föreläsningens mål ::

Efter denna föreläsning bör man ha med sig vad det betyder att en uppsättning vektorer beror av varandra och vad det innebär att de inte beror av varandra.

Man bör också ha lärt sig minst två metoder som man kan använda för att avgöra linjärt beroende eller oberoende:

  1. Använd definitionen :: vektorerna ställs då upp som kolonner i en matris för ett homogent ekvationslösning. Endast trivial lösning ger oberoende. Flera andra lösningar innebär att vektorerna är beroende.
  2. Använd Gaussmaskinen :: vektorerna ställs då upp som rader i en matris. Får vi nollrad så är de beroende om vi inte får nollrad så är de oberoende.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 Linjärt beroende:: introduktion

Linjärt beroende/oberoende och Gaussmaskinen

×
se och kommentera
2 Linjärt beroende/oberoende :: Definition

Linjärt beroende/oberoende och Gaussmaskinen

×
se och kommentera
3 Linjärt beroende/oberoende :: Exempel

Linjärt beroende/oberoende och Gaussmaskinen

×
se och kommentera
4 Linjärt beroende och Gausselimination

Linjärt beroende/oberoende och Gaussmaskinen

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Lay kapitel 1.7

Rekommenderade uppgifter ::

1.7 » 1, 2, 5, 7, 9, 11, 15, 19, 21, 22, 31

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Lösningar till Inlämningsuppgift 1 Deadline 20161205 Lay edition 3 update, Kapitel 1 Linjärt beroende och oberoende


annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • beroende eller oberoende

    Problemforumulering:

    Är vektorerna \(\mathbf{v}_1=(1,2,-1,2)\), \(\mathbf{v}_2=(2,-1,1,1)\) och \(\mathbf{v}_3=(1,-1,1,1)\) linjärt beroende eller oberoende? Ge ett villkor som garanterar att vektorn \(\mathbf{b}=(x,y,z,w)\) ligger i spannet/linjära höljet till vektorerna.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Linjärt oberoende kan upptäckas antingen genom att ställa upp vektorerna som rader i en matris och Gausseliminera: \[ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right] \] Eftersom vi har tre ledande element och tre rader så är våra vektorer oberoende. Vi ser också detta på att eliminationen inte gav oss en nollrad (vilket vi skulle få om vektorerna varit beroende.) Vi kan också få reda på beroendet genom att ställa upp vektorerna som kolonner i en matris. Då är det dessutom naturligt att ställa upp ekvationen \[ s\cdot \mathbf{v}_1+t\cdot \mathbf{v}_2+u\cdot \mathbf{v}_3=\mathbf{b} \] Om vi hittar tre tal \(s,t\) och \(u\) som gör att ekvationen är uppfylld så har vi visat att \(\mathbf{b}\) ligger i \(Span\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\). En biprodukt av den lösningen är att vi också kan säga om vektorerna är beroende eller oberoende. Vektorekvationen på matrisform blir \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & x \\ 2 & -1 & -1 & y \\ -1 & 1 & 1 & z \\ 2 & 1 & 1 & w \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & x \\ 0 & -5 & -3 & y-2 x \\ 0 & 0 & 1 & -x+3y+5z \\ 0 & 0 & 0 & w-3 y-4 z \\ \end{array} \right] \] Här ser vi för det första att vi har tre ledande element (vilket är det mesta vi kan ha eftersom antal kolonner är 3) vilket innebär att vektorerna är oberoende. Vi ser också att systemet är konsistent endast om \(w-3y-4z=0\). Endast vektorer som uppfyller detta villkor kan skrivas som linjärkombination av vektorerna.

    ×
  • Gaussmaskin i aktion

    Problemforumulering:

    Utför Gaussellimination till matrisen \[ A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\2 & -1 & 1 \\1 & -2 & -1\end{array}\right] \] (utan reduktion/återsubstitution) och använd radoperationerna för att ta fram värden \(t_1, t_2\) och \(t_3\) så att % \begin{equation} t_1\mathbf{r}_1+t_2\mathbf{r}_2+t_3\mathbf{r}_3=0 \end{equation} % Är matrisens radvektorer beroende eller oberoende? Hur ser man detta direkt från den Gausseliminerade matrisen?

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Gausseliminering: \[ \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\2 & -1 & 1 \\1 & -2 & -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\0 & -3 & -3 \\0 & -3 & -3\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\0 & -3 & -3 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] \] Kalla raderna för vår startmatris för \(\mathbf{r}_1\),\(\mathbf{r}_2\) och \(\mathbf{r}_3\). I den mittersta matrisen så har vi samma första rad men två nya rader som vi kallar för \(\mathbf{r}_4\) och \(\mathbf{r}_5\). I den sista matrisen har vi redan namngivit de två första raderna men den nedersta nollraden är ny. Hur fick vi nollraden? Jo vi tog \(-1\) gånger rad \(\mathbf{r}_4\) och adderade till \(\mathbf{r}_5\), dvs \[ \mathbf{0}=\mathbf{r}_5-\mathbf{r}_4 \] Sedan fick vi dessa rader från de tre första raderna genom operationerna \[ \mathbf{r}_4=\mathbf{r}_2-2\mathbf{r}_1\quad\text{ och }\quad \mathbf{r}_5=\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1. \] Detta ger oss nu att \[ \mathbf{0}=\mathbf{r}_5-\mathbf{r}_4=(\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1)-(\mathbf{r}_2-2\mathbf{r}_1)=\mathbf{r}_1+\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2 \] Om vi jämför detta med ekvationen i uppgiftsformuleringen så ser vi att vi har \(t_1=1\), \(t_2=-1\) och \(t_3=1\) vilket då, enligt definitionen av linjärt beroende betyder att våra tre radvektorer faktiskt är linjärt beroende. Att vi får en nollrad när vi Gausseliminerar betyder alltså att matrisens radvektorer är linjärt beroende, och en nollrad kan man lätt se när man Gausseliminerar. Om man använder definitionen av linjärt beroende/oberoende så får vi ett system där vektorerna som vi undersöker hamnar som kolonner i ett homogent ekvationssystem. I vårt fall får vi systemet \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \] Mha ledande och fria variabler osv så kan vi skriva lösningarna till denna homogena ekvation som \[ \left[\begin{array}{c}t_1 \\t_2 \\t_3\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}1 \\-1 \\1\end{array}\right]t \] Vår lösning som vi fick i ovan får vi för \(t=1\) men här ser vi precis vilka andra möjliga kombinationer av vektorerna som också ger oss nollkolonn.

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Vektorekvationer och Homogena ekvationssystem

Linjära avbildningar och deras matriser >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


mikke

publicerat den :: 2015 10 09

@JonasL

Det är bra, som Du gjort, om man kan se att summan av kolonn 1 och kolonn 2 blir kolonn 3 för då vet man att det finns icketriviala lösningar. Detta ska dock stämma överens med lösningarna till systemet \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\).
Om vi ställer upp systemet och radreducerar så får man
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & 5 & 0 \\
-5 & 1 & -4 & 0 \\
-3 & -1 & -4 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]\sim
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\]
Här ser vi att vi har en fri variabel vilket innebär att systemet har många lösningar har därför icketriviala lösningar.

hoppas det blir klarare efter detta!
mvh smile



JonasL

publicerat den :: 2015 10 08

Hej!
I kapitel 1.7 uppgift 31 (Lay) så ser jag att man kan skriva att a3=a1+a2—> a1+a2-a3=0 och att det då finns en icke trivial lösning med x1=1, x2=1 och x3=-1. Men när jag sätter upp den som en matris och försöker lösa ut den kommer jag fram till att det bara finns en trivial lösning. Hur ska man lösa den med hjälp av matriser?



mikke

publicerat den :: 2015 09 30

@Julia

Jo du har rätt om tredje vektorn. När jag skrev mitt förra svar tittade jag bara på lösningen och inte på själva frågan. Det verkar som jag missat tecknet redan i lösningen. 
Det verkar enklare att ändra tecknet i sista komponenten i vektorn \(v_3\), annars måste jag ändra i lösningen och även mitt förra inlägg. Om du kollar nu så borde det stå
\[ \mathbf{v}_3=(1,-1,1,1)\]
i uppgiftsformuleringen till det lösta problemet Beroende eller Oberoende.
Teckenbytet förändrar inget i uppgiftens idé.

tack för hjälpen!
mvh smile



Julia

publicerat den :: 2015 09 29

Men ska det inte v3 vara 1, -1, 1, -1 ?
Med vänlig hälsning / Julia



mikke

publicerat den :: 2015 09 29

@Julia

Stegen du frågar efter är de vanliga Gausseliminationsstegen. Operationerna man gör bestäms av systemmatrisen (siffrorna till vänster) Högerledet följer med i räkningarna. Jag har följande räknekedja
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & x \\
2 & -1 & -1 & y \\
-1 & 1 & 1 & z \\
2 & 1 & 1 & w \\
\end{array}
\right]\sim
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & x \\
0 & -5 & -3 & y-2 x \\
0 & 3 & 2 & x+z \\
0 & -3 & -1 & w-2 x \\
\end{array}
\right]\sim
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & x \\
0 & -5 & -3 & y-2 x \\
0 & 0 & \frac{1}{5} & x+\frac{3}{5} (y-2 x)+z \\
0 & 0 & \frac{4}{5} & w-2 x-\frac{3}{5} (y-2 x) \\
\end{array}
\right]
\]
I andra steget i ovan så multipliceras rad 2 med \(3/5\) och adderas till rad 3 och multipliceras med \(-3/5\) och adderas till rad 4.

Efter detta så multipliceras rad 3 med -4 och adderas till rad 4. Samtidigt multipliceras rad 3 med 5 för att bli av med femtedelarna. Vi få då
\[
\left[
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 1 & x \\
0 & -5 & -3 & y-2 x \\
0 & 0 & 1 & -x+3 y+5 z \\
0 & 0 & 0 & w-3 y-4 z \\
\end{array}
\right]
\]

Hoppas detta hjälper!

mvh smile



Julia

publicerat den :: 2015 09 29

På frågan beroende eller oberoende. Hur kommer du fram till högerledet? Jag kommer till 1 2 1 = x och 0 -5 -3 = y-2x men efter det verkar jag krångla till det!
Mvh / Julia



mikke

publicerat den :: 2015 09 27

@Jonathan.t.bergman@Gmail.com

Svårt att säga vad Du gjort för fel när jag inte ser din lösning.

Vanliga fel är att man gjort ett avskrivningsfel, t.ex. skrivit en etta istället för -1,
eller så kan man ha gjort ett additionsfel i någon av radoperationerna. Man kan ha adderat när man ska subtrahera osv.
Ibland är det svårt att själv upptäcka felet och när man räknar om så har man en tendens att göra samma fel igen.

Ibland är det då bra att ta en paus och återkomma till problemet senare.



jonathan.t.bergman@gmail.com

publicerat den :: 2015 09 25

Hej! Jag har fastnat på det lösta problemet “gaussmaskin i aktion”. När jag genomförde elimineringen fick jag samma resultat som står längst upp i lösningen. Sedan genomförde kontrollen av radoperationerna och fick samma lösning på ekvationssystemet: x=[1,-1,1]t.

Däremot, när jag eliminerade till reducerad trappstegform (som längre ned i lösningsförslaget hände två saker: 1) det 3 elementet i första raden blev 1 istället för -1 och därmed att t1= -t3

Vad har jag gjort för fel?

tack!

Med vänlig hälsning

Jonathan Bergman