föreläsning ::
Minsta kvadratmetoden

Linjära algebrans kanske viktigaste tillämpning.

Föreläsningens mål ::

Minsta kvadratmetoden hjälper oss att hitta bästa approximativa lösning till inkonsistenta system. De inskonsistenta systemen uppstår i praktiken vid mätning där mätfel gör systemen olösbara. Man vill kanske hitta en rät linje som bäst anpassar sig till en stor mängd mätdata. Sådana tillämpningar är väldigt vanliga och mycket viktiga.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 L16 010 Minsta kvadratmetodens idé :: del 1

Minsta kvadratmetoden

×
se och kommentera
2 L16 020 Minsta kvadratmetodens idé :: del 2

Minsta kvadratmetoden

×
se och kommentera
3 L16 030 Linjär regression, anpassning av rät linje till mätpunkter.

Minsta kvadratmetoden

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Rekommenderade uppgifter ::

6.5 » 6.5: 1, 3, 5, 6, 9, 11, 17, 18
6.6 » 6.6: 1, 2, 3, 4, 7, 9

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning
1 L16 040 Minsta kvadratanpassning av ellips till mätdata

Minsta kvadratmetoden

×
se och kommentera

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Inga extradokument tillgängliga för denna föreläsning




annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • Linjär regression, anpassning av en linje till mätpunkter

    Problemforumulering:

    Beräkna den linje som, i minsta kvadratmening, bäst anpassar sig till punkterna \[ (-1,1),\ (0,2),\ (1,0),\ (2,2),\ (3,2) \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Vi ska anpassa en linje \(kx+m=y\) till de angivna punkterna. Om vi sätter in varje punkt i linjens ekvation så får vi ett ekvationssystem i de obekanta parametrarna \(k\) och \(m\). Detta ekvationssystem blir \begin{equation} M X = Y,\qquad\qquad\qquad\qquad (1) \end{equation} där \[ M=\left[ \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right]\quad X=\left[\begin{array}{c}k \\m\end{array}\right]\quad\text{och}\quad Y=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right] \] Vi multiplicerar båda led av (1) med \(M\)'s transponat vilket ger oss ekvationen \[ \left[ \begin{array}{cc} 15 & 5 \\ 5 & 5 \\ \end{array} \right]\left[\begin{array}{c}k \\m\end{array}\right]= \left[ \begin{array}{c} 15 \\ 2 \\ \end{array} \right] \] På matrisform får vi \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 15 & 5 &9\\ 5 & 5 &7\\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{6}{5} \\ \end{array} \right] \] vilket alltså betyder att \(k=\frac{1}{5}\) och \(m=\frac{6}{5}\) som ger att den bäst anpassade linjen blir \[ y=\frac{1}{5}x+\frac{6}{5}\quad\Leftrightarrow \quad1x-5y=6 \]

    ×
  • Minstakvadratanpassning av ellips

    Problemforumulering:

    Beräkna den ellips på formen \[ ax^2+by^2=1 \] som bäst anpassar sig till punkterna \((1,2)\),\((0,3)\),\((-1,1)\),\((0,-1)\),\((1,1)\).

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Vi sätter in alla punkterna i ekvationen och får då ekvationssystemet \begin{eqnarray*} a+4b & = & 1 \\ 9b & = & 1\\ a+b & = & 1\\ b & = & 1\\ a+b & = & 1, \end{eqnarray*} som på matrisform blir \[\underbrace{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 0 & 9 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right]}_{=M_4} \left[\begin{array}{c}a \\b\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}1 \\1 \\1 \\1 \\1\end{array}\right] \] Vi får fram Normalekvationen genom att multiplicera med transponatet till \(M_4\) från vänster i båda led: \[ \left[ \begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 6 & 100 \\ \end{array} \right] \left[\begin{array}{c}a \\b\end{array}\right]= \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 16 \\ \end{array} \right] \] Vi skriver detta på utvidgat matrisform och radreducerar: \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 3 & 6 & 3 \\ 6 & 100 & 16 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{17}{22} \\ 0 & 1 & \frac{5}{44} \\ \end{array} \right] \] Från detta får vi alltså att \(a=\frac{17}{22}\) och \(b= \frac{5}{44}\) och vår ekvation för den ellips som bäst anpassar sig till våra punkter blir \[ \frac{17}{22}x^2+ \frac{5}{44}y^2=1 \]

    ×
  • Anpassa andragradskurva till mätpunkter

    Problemforumulering:

    Beräkna det andragradspolynom på formen \(y=ax^2+b\) som bäst anpassar sig till punkterna som ges av matrisen \[ \mathbf{a}= \left[ \begin{array}{cc} -4 & 3 \\ -2 & -1 \\ 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ 4 & 3 \end{array} \right] \]

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Problemet kan ställas upp som ett minsta kvadratproblem \(M x =b\) där \[M= \left[ \begin{array}{cc} 16 & 1 \\ 4 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 16 & 1 \end{array} \right]\qquad\text{ och } \qquad b=\left[ \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ -2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right] \] Normalekvationen \(M^TM x =M^T b\) blir \[ \left[ \begin{array}{cc} 529 & 37 \\ 37 & 5 \end{array} \right]\left[\begin{array}{c}a \\b\end{array}\right]= \left[ \begin{array}{c} 91 \\ 2 \end{array} \right] \] som har lösningen \[ \left[ \begin{array}{c} \frac{381}{1276} \\ -\frac{2309}{1276} \end{array} \right]\approx\left[ \begin{array}{c} 0.298589 \\ -1.80956 \end{array} \right] \] vilket ger oss polynomet \(y= \frac{381}{1276} x^2 -\frac{2309}{1276}\) Situationen visas i figuren

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Geometriska problem :: avståndsproblem

Egenvärden, egenvektorer och diagonalisering >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::