föreläsning ::
Skalärprodukten, ortogonalitet och projektion

Skalärprodukten introducerades i första föreläsningen. Här går vi vidare och arbetar mer ingående med ortogonalitet och hur man beräknar projektioner av vektorer.

Föreläsningens mål ::

Skalärprodukten introducerades i första föreläsningen. Här går vi vidare och arbetar mer ingående med ortogonalitet och hur man beräknar projektioner av vektorer.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 L15-010 Skalärprodukten och ON-baser

Skalärprodukten, ortogonalitet och projektion

×
se och kommentera
2 L15-020 Härledning av projektionsformeln

Skalärprodukten, ortogonalitet och projektion

×
se och kommentera
3 L15- 030 Projektion till delrum med ON-bas

Skalärprodukten, ortogonalitet och projektion

×
se och kommentera
4 L15-040 Gram Schmidts ortogonaliseringsmetod

Skalärprodukten, ortogonalitet och projektion

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Rekommenderade uppgifter ::

6.1 » 6.1: 1, 3, 5, 7, 11, 14, 15, 17, 27, 29
6.2 » 6.2 : 1, 3, 7, 9, 17, 19, 23, 24
6.3 » 6.3 : 1, 3, 7, 9, 15, 17, 19, 21, 22
6.4 » 6.4 : 1, 3, 5, 7, 9, 17, 18.

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning
1 L15-050 Gram-Schmidts metod :: Exempel

Skalärprodukten, ortogonalitet och projektion

×
se och kommentera

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Inga extradokument tillgängliga för denna föreläsning




annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • ON-bas mha Gram-Schmids metod

    Problemforumulering:

    Låt \(W\) vara ett delrum av \(\mathbb{R}^4\) utrustad med basen \[ \mathcal{B}=\left\{ \left[\begin{array}{c}1 \\0 \\0 \\1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}3 \\1 \\0 \\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-2 \\0 \\1 \\0\end{array}\right] \right\} \]

    1. Använd Gram-Schmidts ortonormeringsalgoritm för att få fram en ON-bas för \(W\)
    2. Använd ON-basen för att beräkna projektionen \(Proj_W \mathbf{v}\) av vektorn \(\mathbf{v}=(1,1,1,1)\) ned i delrummet \(W\).

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    1. Vi använder Gram-Schmidt: Vår bas består av tre vektorer. Ingen av vektorerna är ortogonal mot någon av de andra så här måste vi använda Gram-Schmidt från grunden. Jag tycker att vektorn \((1,0,0,1)\) verkar enklast så jag börjar med denna för att först beräkna en ortogonal bas. Normeringen gör jag sedan när jag beräknat tre ortogonala vektorer. \[ o_1=(1,0,0,1) \] Den andra vektorn beräknas genom att från denna dra bort dess projektion på den första vektorn: \[ \begin{split} o_2 &=(3,1,0,0)-\frac{(3,1,0,0)\bullet (1,0,0,1)}{2}(1,0,0,1)=\\ &=(3,1,0,0)-(3/2,0,0,3/2)=(3/2,1,0,-3/2) \end{split} \] Den tredje vektorn får vi genom att från tredje vektorn subtrahera dess projektion på de två ovanstående vektorerna \[ \begin{split} o_3 &=(-2,0,1,0)-\frac{(-2,0,1,0)\bullet (1,0,0,1)}{2}(1,0,0,1)\\ &-\frac{(-2,0,1,0)\bullet (3/2,1,0,-3/2)}{11/2}(3/2,1,0,-3/2)=\\ &=(-2,0,1,0)+(1,0,0,1)+(9/11,6/11,0,-9/11)=\\ &=\frac{1}{11}\left[(-11,0,11,11)+(9,6,0,-9)\right]=\frac{1}{11}(-2,6,11,2) \end{split} \] Nu normerar vi \(o_1, o_2\) och \(o_3\):: \begin{eqnarray*} e_1& = &\frac{o_1}{||o_1||}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,0,1)=\\ e_2& = &\frac{o_2}{||o_2||}=\frac{1}{\sqrt{22}}(3,2,0,-3)\\ e_3& = &\frac{o_3}{||o_3||}=\frac{1}{\sqrt{165}}(-2,6,11,2) \end{eqnarray*}
    2. Vi beräknar projektionen till delrummet \(W\) genom att summera projektionerna till varje vektor i den ortonormala basen: \[ \begin{split} Proj_W \mathbf{v}&=(\mathbf{v}\bullet \mathbf{e_1})\mathbf{e_1}+(\mathbf{v}\bullet \mathbf{e_2})\mathbf{e_2} +(\mathbf{v}\bullet \mathbf{e_3})\mathbf{e_3}=\\ &= ((1,1,1,1)\bullet\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,0,1))\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,0,1)+\\ &((1,1,1,1)\bullet\frac{1}{\sqrt{22}}(3,2,0,-3))\frac{1}{\sqrt{22}}(3,2,0,-3)\\+ &((1,1,1,1)\bullet\frac{1}{\sqrt{165}}(-2,6,11,2))\frac{1}{\sqrt{165}}(-2,6,11,2)=\\ &=(1,0,0,1)+\frac{2}{22}(3,2,0,-3)+\frac{17}{165}(-2,6,11,2)=\\ &=\frac{1}{330}\left[(330,0,0,330)+(90,60,0,-90)+(-68,204,374,68)\right]=\frac{1}{330}(352,264,374,308)\\ &=\frac{1}{15}(16,12,17,14) \end{split} \]

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Baser, koordinater och basbyte.

Geometriska problem :: avståndsproblem >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


mikke

publicerat den :: 2016 12 22

@Micke
Tack igen för felrapportering!

Även jag har i firefox problem med första länken, alltså då menar jag knappen “se och kommentera” Jag måste föra muspekaren till knappens nedre högra hörn för att den ska fungera. Däremot fungerar Playknappen till vänster om videons titel, så man ser videon i en modal som läggs över sidan. Det finns alltså två sätt att se videorna. Fungerar inget av dem i Edge?
Jag har försökt felsöka men jag kan inte hitta något fel, så jag gissar på att det kan vara problem med de Javascript som styr modalgrunkan. 

mvh smile



Micke's avatar

Micke

publicerat den :: 2016 12 21

Länken till första videon på den här sidan L15-010 funkar inte med Windows 10, browser Edge. Har även problem med alla videos sidan som tar en evighet att ladda ner och efter ett tag står det linearalgebra not responding men man kan hitta videon på Youtube på grebsrof matematik - linear algebra. Det är väl nåt med att Edge inte kör Java utan kör nån egen Java tror jag. Hej Micke.



mikke

publicerat den :: 2015 12 23

@Fred

Oops!

Den uppgiften (6.4.13) skulle tas bort! QR-faktoriseringen ingår inte.

tack för att du påpekade detta!
mvh smile



Fred

publicerat den :: 2015 12 16

Hej,

Ingår QR-faktorisering i kursen? Ser en uppgift i 6.4 med QR-faktorisering men ser det ej nämnt någon annan stans på kurshemsidan.

Mvh,
Fred



mikke

publicerat den :: 2015 11 13

@Storch

Jag förstår inte riktigt. Vad är uppgiften? Ska man beräkna \((u+v)\bullet(u+v)\) ?

I så fall blir det
\[
\begin{split}
(u+v)\bullet(u+v) &=u\bullet u +u\bullet v +v\bullet u + v\bullet v=||u||^2+2u\bullet v +||v||^2=\\
&=4^2+ 2||u||||v||\cos\pi/4+3^2=25+2\cdot 4\cdot 3\sqrt{2}{2}=25+12\sqrt{2}=41.97
\end{split}
\]

mvh smile



storch

publicerat den :: 2015 11 12

Hej jag skulle behöva hjälp med en uppgift skalärprodukter.

fixera ortonormerade basen e1,e2,e3 i planet respektive rummet.

Två vektorer u och v har längden 4 respektive 3 och bildar vinkeln pi/4 med varandra

(u+v)*(u+v)

jag skulle vilja få det till (v+u)*(v+u)* cos(pi/4) som blir ca 34.66 men svaret blir 41.97.

jag vet inte riktigt vad jag gör fel