föreläsning ::
Vektorekvationer och Homogena ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem kan tolkas som en vektorekvation som hjälper oss att tolka systemet mha linjärkombinationer av koeffecientmatrisens kolonner. Homogena ekvationssystem är system där höger led är noll. Lösningarna till ett homogent ekvationssystem säger något viktigt om koeffecientmatrisen.

Föreläsningens mål ::

Här ska vi lära oss att tolka ett linjärt ekvationssystem som en vektorekvation. Detta ska leda till förståelsen att höger led måste ligga i spannet av matrisens kolonnvektorer för att systemet ska vara konsistent. 

De homogena ekvationssystemem har alltid nollösningen och är därför alltid konsistenta. Homogena lösningarna säger något om koeffecientmatrisen. I kapitel 4 kommer vi att säga att de homogena lösningarna är nollrummet, alla vektorer som matrisavbildningen avbildar till noll. Detta ger oss hur mycket  koeffecientmatrisen plattar till inputrummet. Varje inhomogent system kan uttryckas som den homogena lösningen plus en partikulär lösning. Om ett inhomogent system ger oss oändlligt många lösningar så kommer dessa från homogena lösningen.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 L4-Vektorekvationer

Vektorekvationer och Homogena ekvationssystem

×
se och kommentera
2 L4-Homogen Ekvation

Vektorekvationer och Homogena ekvationssystem

×
se och kommentera
3 L4-Homogent Ekvationssystem Exempellösning

Vektorekvationer och Homogena ekvationssystem

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Lay kapitel 1.3, 1.4,  1.5

Rekommenderade uppgifter ::

1.3 » 1, 3, 5, 7, 9, 17, 21 23, 24, 29
1.4 » 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 19, 21, 23, 24
1.5 » 1, 2, 5, 9, 11, 17, 23, 24, 34

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Lay edition 3 update, Kapitel 1 homogena ekvationssystem och superposition


annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem






Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Gausselimination :: de singulära fallen

Linjärt beroende/oberoende och Gaussmaskinen >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


mikke

publicerat den :: 2015 10 23

@Hileen.m

Jag är osäker på exakt vad det var du inte förstod i lösningen. Här kommer mina idéer som Du kan fundera på!

1.4.9:

För denna uppgift så skulla jag börja med att skriva på matrisform
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
\boxed{3} & 1 & -5 & 9 \\
0 & \boxed{1} & 4 &0\end{array}\right]\sim
\left[\begin{array}{ccc|c}
\boxed{3} & 0 & -9 & 9 \\
0 & \boxed{1} & 4 &0\end{array}\right]
\]
där jag inrutat de ledande elementen och reducerat så att vi har nollor ovanför ledande element.

Vi ser att kolonn 3 saknar ledande element och detta gör motsvarande variabel \(x_3=t\) till en fri variabel
Sedan uttrycker man de ledande variablerna mha den fria: \(x_1=9t+9\) och \(x_2=-4t\).

1.5.11:
I denna uppgift har vi en matris som redan är Gausseliminerad. Den behöver bara reduceras. Vi gör detta och identifierar ledande element, ledande variabler och fria variabler
\[
\left[\begin{array}{cccccc|c}
\boxed{1} & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 & 0 \\
0 & 0 & \boxed{1} & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{1}  & -4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\sim
\left[
\begin{array}{ccccccc}
\boxed{1} & -4 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & \boxed{1} & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & -4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\]
Eftersom de ledande elementen står i kolonnerna, 1, 3 och 5 så är motsvarande variabler \(x_1, x_3\) och \(x_5\) ledande variabler. De övriga är fria eftersom deras kolonner saknar ledande element. Vi får alltså att \(x_2=s\), \(x_4=t\) och \(x_6=u\) är fria variabler. Sedan använder man de nollskilda raderna och löser ut de ledande m.h.a. de fria variablerna.

1.5.34:

Här behöver man först förstå att vänster led av Ekvationen \(Ax=0\) är en linjär kombination av \(A\)‘s kolonner.
Sedan behöver man se att den andra kolonnen är parallell med den första. Vi har att kolonn 2 är -3/2 gånger kolonn 1, vilket betyder att de är parallella. Tack vare detta får vi att

\[\mathbf{k_2}-\frac{3}{2}\mathbf{k}_1=0\]

som ger att \((-3/2,1)\) är en lösning till ekvationen.

Hoppas detta hjälper!



Hileen.m

publicerat den :: 2015 10 22

Hej!

Behöver hjälp med vissa frågar där jag inte förstod hur dem löste:

Kap. 1,4 uppgift 9

Kap. 1,5 uppgift 11 och 34.

Tack!



mikke

publicerat den :: 2015 10 03

@Fred
När det gäller parameterlösningar så har jag själv lättare att tänka att jag alla variablerna parametriseras. En parametriserad linje t.ex., speciellt om vi har parametern t, kan tolkas som att alla tre variablerna beror på t (tiden kanske?) Den parametriserade linjen tolkas då som att vi rör oss längs linjen med tiden. Alla tre variablerna är koordinaterna för punkten och dessa beror på parametern/tiden.
Om vi istället använder en av variablerna (t.ex. z) som parameter så får vi en parametrisering där x och y beror av z och z av sig själv. Även om detta inte direkt leder till något problem så har jag svårare att föreställa mig lösningen.
Det parametriska tiden tänkandet är lättare, tycker jag.
Men om någon föredrar det andra sättet så är det inte några problem.
mvh smile



Fred

publicerat den :: 2015 10 03

@Mikke

Tack för svar! Det jag är ute efter är när man ska uttrycka något på parameterform så har jag sett dig substituera t.ex. symbolerna. y, z mot s,t. Smidigt, eftersom man kan låta t.ex. s vara 3y och på så sätt kanske få en elegantare vektor eller dyl, medan Lay skippar detta, och direkt använder samma symboler som i själva systemet x, y, z eller x_1, x_2, x_3. Matematiskt kan jag ju inte se någon skillnad, men det är här jag funderar på om det är någon skillnad på terminologi, eller om vi fritt kan välja på uttryckssätt?

Mvh,
Fred



mikke

publicerat den :: 2015 10 03

@Fred
Befogad fråga!

Vad vi kallar variablerna spelar ingen roll, vi kan egentligen använda vilka bokstäver som helst. Problemet är att man kan få slut på bokstäver. Många praktiska problem som man använder linjär algebra för att analysera och lösa involverar oerhört många variabler. Kan vara miljontals. Då räcker inte våra alfabeten till och vi måste använda variabelnamn som \(x_1, x_2, x_3,\dots \). Genom att ha numrerade variabler är det också lättare att programmera datorrutiner som utför räkningarna.

Men för vår del, vi har ju oftast 3-4 variabler som mest när vi ska räkna för hand så kan man använda den beteckning man vill. Jag brukar använda \(x, y, z\) för de tre första variablerna och \(w\) om jag behöver en fjärde. 
Lay verkar konsekvent använda sig av numrerade variabler och det är bra, så att ni ser att man kan använda båda typerna.

mvh smile



Fred

publicerat den :: 2015 10 03

I exemplen när Lay skriver på “parametric vector form” (samma som parameterform förutsätter jag?) använder han variablerna direkt som parametrar (d.v.s. x2, x3, eller motsv y, z) istället för egna parametersymboler (s, t), som i videoföreläsningarna. Finns det någon skillnad mer än den “stilistiska”, är båda typerna av notation utbytbara och ok att använda, eller finns det en terminologisk skillnad mellan dem?

Mvh,
Fred