föreläsning ::
Vektorer och vektorräkning

I denna föreläsning introduceras begreppet vektor som är kanske det mest grundläggande begreppet i den linjära algebran. Vektorer är viktiga bland annat för att de används för att beskriva positioner och riktningar i våra flerdimensionella rum och för att man använder vektorer för att beskriva krafter hastigheter och andra fysikaliska storheter.

Föreläsningens mål ::

Här definierar vi begreppet vektor från grunden som något som har längd och riktning. Via ortsvektorer kan vi identifiera vektorerna med koordinater för punkter i ett lämpligt rum. Dessa koordinater blir då koordinatvektorer och som vi ska se så  är dessa koordinatvektorer enkla att räkna med.  Vi ska lära oss att vektorer kan  adderas med varandra och multipliceras med skalärer. Man kan då bilda s.k. linjärkombinationer

\[a\mathbf{u}+b\mathbf{v},\]

och dessa linjärkombinationer är mycket viktiga för den linjära algebran och används bland annat när vi ska  beskriva linjer, plan i högre dimension.

Begreppet skalär används som synonym för begreppet tal (reellt tal). Skalärprodukten är en produkt som till två vektorer tilldelar en skalär (ett tal). Denna skalärprodukt ger oss möjlighet att beräkna längden för en vektor och dels en idé om hur vi ska definiera vinkeln mellan två vektorer. Mha skalärprodukten får vi ett sätt att beskriva ett tvådimensionellt plan med en ekvation.

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 L1 vektorintro del 010

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera
2 L1 vektorintro 020

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera
3 L1 vektorintro 030

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera
4 L1 vektorintro 040

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera
5 L1 vektorintro 050

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera
6 L1 vektorintro 060

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Dokumentet finns här på linearalgebra.se :: iV :: introduktion till vektorer

Rekommenderade uppgifter ::

iV :: 1.1 » 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
iV :: 1.2 » 9, 10, 11, 12
iV :: 1.3 » 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
iV :: 1.4 »

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning
1 Normering av vektorer

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera
2 Linjära kombinationer i ekvationer

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera
3 Hur man beräknar skärningslinjen mellan två plan.

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera
4 Om raderna och kolonnernas betydelse i ett ekvationssystem

Vektorer och vektorräkning

×
se och kommentera

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Exempelsamling om vektorräkning


annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • Koordinatvektorer är vektorer.

    Problemforumulering:

    En vektor är något som har längd och riktning. Visa att koordinatvektorn \((1,1,3)\) är en vektor genom att beskriva dess längd och dess riktning, m.a.p ett lämpligt koordinatsystem.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Koordinatvektorn betyder att \[ (1,1,3)=\underbrace{(1,0,0)}_{x-\text{axeln}}+\underbrace{(0,1,0)}_{y-\text{axeln}}+3\underbrace{(0,0,1)}_{z-\text{axeln}} \] och detta visar att riktningen mäts ut genom att utgå från origo och gå 1 m i \(x\) och \(y\)-riktningar och sedan 3m i \(z\)-riktningen.

    ×
  • Avståndet mellan två punkter

    Problemforumulering:

    Beräkna avståndet mellan punkterna \(p=(4,1)\) och \(q=(7,-3)\).

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Notera att koordinaterna för \(p\) och \(q\) kan betraktas som ortsvektorer. Genom en lämplig kombination av dessa ortsvektorer (exempelvis \(q-p\)) så kan vi representera avståndet mellan punkterna med en skillnadsvektor. Avståndet mellan \(p\) och \(q\) är längden av denna skillnadsvektor mellan punkterna. Se även figuren nedan. \[ \mathbf{v}=q-p=(7,-3)-(4,1)=(3,-4) \] Längden av denna vektor blir \[ ||\mathbf{v}||=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5, \] så avståndet mellan punkterna är \(5\)!

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



Introduktion till Gausselimination >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


mikke

publicerat den :: 2016 11 21

@Dimitri
Har du sett lösningarna längst bak i kompendiet?

Vi ska visa att det finns en linjär kombination av vektorerna \(\mathbf{a}=(1,1,1)\) och \(\mathbf{b}=(-2,3,5)\) som ger oss vektorn \(\mathbf{v}=(8,-7,-13)\).

Vad är en linjärkombination av de båda vektorerna?

Jo det är en kombination \(s\mathbf{a}+t\mathbf{b}\)


Om vektorn \(\mathbf{v}\) ska bli lika med en sådan kombination så får vi följande ekvationssystem

\[
s\mathbf{a}+t\mathbf{b}=
    s \left[\begin{array}{c}1 \\1 \\1\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-2 \\3 \\5\end{array}\right]
    =\left[\begin{array}{c}-2 \\-7 \\-13\end{array}\right]
\]
Detta ger tre ekvationer i variablerna s och t, en ekvation för varje vektorkomponent:
\[s-2t=8\]
\[s+3t=-7\]
\[s+5t=-13\]

Löser man ut s från första ekvationen och sätter in i andra ekvationen får man ett värde på t. Sätt in detta värde i första ekvationen och lös ut s. Kontrollera sedan att den tredje ekvationen också är uppfylld för dessa värden på s och t.

Under de kommande veckorna lär vi oss att lösa sådana ekvationssystem mer effektivt och då kommer systemet att skrivas på matris form som
\[
\left[\begin{array}{cc|c}1 & -2 & 8 \\1 & 3 & -7 \\1 & 5 & -13\end{array}\right]
\]
och lösas med så kallad Gausselimination, vilket är en av kursens huvuduppgifter att lära oss.



Dmitri

publicerat den :: 2016 11 20

Hej,
Jag har fastnat i iV :: 1.2 » 10
Kan du förklara hur man löser den?
MVH Dmitri



mikke

publicerat den :: 2015 11 13

@Staffan_Bäcklin

Vad är det du refererar till?

mvh smile
mikael forsberg



Staffan_Bäcklin

publicerat den :: 2015 11 13

Vektor u = (1, 2, -3) men på kolonuppräkningen så star det

1
2
3

Hur kommer det sig ? Försvann - där ? Och isåfall varför ?



mikke

publicerat den :: 2015 09 16

@Hileen.m

I kursboken finns det väldigt många uppgifter. De rekommenderade uppgifterna anger ett urval av kursbokens uppgifter.
Jag tror inte det räcker att bara titta på föreläsningarna. Matematik lär man sig genom att arbeta med och lösa uppgifterna. Det är ganska mycket material som ni ska lära er och därför behöver man arbeta åtminstone de rekommenderade uppgifterna.

mvh smile



Hileen.m

publicerat den :: 2015 09 16

Vad Skillnaden mellan rekommenderad uppgifter som finns här och dem som finns i boken?
Har inte köpt boken än men skulle det räcka att man läser varje föreläsning och gör bara dem uppgifter för tentan?

Med vänlig hälsning,
Hileen Mohsin



mikke

publicerat den :: 2015 09 03

@Ricky
Visst kan du arbeta med uppgifterna i kapitel 1.4. Tanken är dock att vi ska återkomma till avståndsproblemen lite senare i kursen. Det är därför jag inte lagt ut rekommenderade uppgifter nu. En del av uppgifterna blir enklare när man vet vad kryssprodukten är och hur man beräknar den. Kryssprodukten tar vi upp i samband med determinanten.

Men det skadar inte att börja arbeta med uppgifterna redan nu om du har tid!

mvh smile



Ricky

publicerat den :: 2015 09 03

Är det bra att göra uppgifterna på kapitel1.4 eller räcker det att man läser igenom kapitlet?