föreläsning ::
Vektorrum och delrum

Alla tredimensionella vektorer bildar tillsammans ett rum kallat \(\mathbb{R}^3\). Om vi bildar linjärkombinationer av flera sådana vektorer så får vi en ny vektor av samma sort. Linjärkombination underförstår att det finns en addition och en möjlighet att multiplicera en vektor med ett tal. Om vi tar \(\mathbb{R}^3\) tillsammans med dessa två räkneoperationer så har vi modellen för begreppet vektorrum. Vi studerar bara ändligtdimensionella vektorrum och sådana kan alltid identifieras med reella rum \(\mathbb{R}^n\). Men det finns också funktionsrum och liknande som är oändligtdimensionella. Dessa är på många sätt annorlunda men de delar trots det många vektorrumsliga egenskaper med våra vanliga rum. Vektorrummen och deras delrum är därför viktigt.

Föreläsningens mål ::

Vi lär oss: vad är ett vektorrum? När är en delmängd till ett vektorrum själv ett vektorrum?

Föreläsningsvideo

# Videolänk i popup Video beskrivning
1 Vad är ett vektorrum?

Vektorrum och delrum

×
se och kommentera
2 Vad är ett delrum, delvektorrum?

Vektorrum och delrum

×
se och kommentera

Avsnitt från kurslitteraturen ::

Rekommenderade uppgifter ::

2.8 » 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25
2.9 » 1, 3, 5, 9, 11, 13, 17, 18
4.1 » 1, 3, 9, 11, 15, 23, 24

Videos med lösta exempel :: även exempel från gamla tentamina.

# Videolänk Video beskrivning
1 Exempel :: Reella vektorrum och räknereglerna

Vektorrum och delrum

×
se och kommentera
2 Exempel på delrum

Vektorrum och delrum

×
se och kommentera
3 Funktionsrum är vektorrum, ett exempel

Vektorrum och delrum

×
se och kommentera
4 L12 030 Exempel på Delrum

Vektorrum och delrum

×
se och kommentera

Extra dokument som är lämpliga för föreläsningen

Inga extradokument tillgängliga för denna föreläsning




annat :: Relaterade nyckelord och lösta problem


Lösta problem


  • span av en vektor är delrum

    Problemforumulering:

    Låt \(v\) vara en vektor i ett vektorrum \(V\) och betrakta den mängd som denna vektor spänner upp: \[ W=Span\ {v}=\{w:w=kv, k\in\mathbb{R}\} \] Visa att \(W\) är ett delrum.

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    Vi har att \(\mathbf{0}\in W\) ty vi kan välja \(k=0\). Låt \(w_1=k_1v\) och \(w_2=k_2v\) vara två godtyckliga vektorer i \(W\). Om vi kan visa att linjärkombinationer av dessa ligger i \(W\) så är vi klara. Vi har \[ aw_1+bw_2= a k_1v+bk_2v=\underbrace{(ak_1+bk_2)}_{=\text{ ett reellt tal}=k} v=kv \] och detta visar att varje linjärkombination av element från \(W\) ligger kvar i \(W\).

    ×
  • Tre delrumsövningar

    Problemforumulering:

    Vilka av följande delmängder av \(\mathbb{R}^3\) är delrum till \(\mathbb{R}^3\)?

    1. \(U=\{(a,b,1): a,b\in\mathbb{R}\}\).
    2. \(U=\{(0,0,c): c\in\mathbb{R}\}\)
    3. \(U=\{(a,b,c): a+2b-c=0, a,b,c\in\mathbb{R}\}\)

    Svar ::

    ×

    Svar/lösning

    1. \(U=\{(a,b,1): a,b\in\mathbb{R}\}\). Nollvektorn tillhör inte \(U\) eftersom nollvektorn inte har 1 i tredje komponenten. Om vi summerar två godtyckliga vektorer så kommer vi få en vektor som har 2 i tredje (z-) komponenten. En sådan vektor ligger inte i \(U\) och då följer det att \(U\) inte är sluten under addition och därför inte ett delrum. Om vi multiplicerar en vektor från \(U\) med ett tal skilt från 1, (säg 2) så får vi en vektor utanför \(U\). \(U\) ej sluten under multiplikation med tal.
    2. \(U=\{(0,0,c): c\in\mathbb{R}\}\) Först och främst så ligger nollvektorn i \(U\) eftersom \(c\) tillåts vara noll. Summerar vi två vektorer från \(U\) så får vi en vektor med nollor i de två första komponenterna och ett tal i tredje. Summan ligger alltså i \(U\) så \(U\) är sluten under addition. Slutligen så kommer produkten av vektorn med ett godtyckligt tal \(t\) ge en vektor i \(U\) eftersom \(t\cdot (0,0,c)=(0,0,t\cdot c)\) så \(U\) är sluten under multiplikation med ett tal. De tre delrumsaxiomen är alltså uppfyllda och \(U\) är alltså ett delrum.
    3. \(U=\{(a,b,c): a+2b-c=0, a,b,c\in\mathbb{R}\}\) Vi har att nollvektorn uppfyller ekvationen så nollvektorn tillhör \(U\). Låt \(u_1=(a_1,b_1,c_1)\) och \(u_2=(a_2,b_2,c_2)\) ligga i \(U\) och bilda deras summa \(u_1+u_2=(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)\) \(U\) är sluten under addition om denna summa uppfyller ekvationen \(a+2b+c=0\) Vi testar: \[ (a_1+a_2)+2(b_1+b_2)+(c_1+c_2)=\underbrace{a_1+2b_1+c_1}_{=0,\text{ ty }u_1\in U} +\underbrace{a_2+2b_2+c_2}_{=0,\text{ ty }u_2\in U}=0 \] Alltså är \(U\) sluten under addition Vi behöver nu undersöka slutenheten under multiplikation med tal. Vi behöver kolla om \(t\cdot u_1\in U\): \[t\cdot a_1+2\cdot t\cdot b_1+t\cdot c_1=t\cdot\underbrace{a_1+2b_1+c_1}_{=0,\text{ ty }u_1\in U}=t\cdot 0=0.\] Detta \(U\) uppfyller alltså delrumsaxiomen och är alltså ett delrum. Notera att detta \(U\) kan beskrivas som nollrummet till \(1\times 3\)-matrisen \([1,2,1]\) och ett nollrum till en matris är alltid ett delrum.

    ×




Navigation :: Nästa/Föregående föreläsning ::



<< Introduktion till determinanten.

Basbegreppet. Bas för våra matrisrum >>

lecture::Frågor?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::