Lecture 001:: vektorer och koordinatvektorer

Lecture :: vektorer och koordinatvektorer
sammanfattning

Denna föreläsning introducerar begreppet vektor och förklarar hur punkter i rummet kan representera vektorerna. Punkterna beskrivs med koordinater och koordinaterna bokförs med så kallade koordinatvektorer, eller n-tuppler som man också kan kalla dem. Koordinatvektorerna är enkla att räkna med och den vektoralgebra vi får kommer vi att bli väldigt förtrogna med

Läsanvisningar::
Avsnitt i kursboken
Denna första lektion har ett introducerande innehåll som jag tycker saknas i Lay´s kursbok. Om vektorekvationer kan man dock läsa i Lay kapitel 1.3
Extramaterial som kompletterar denna föreläsning::
Geometriska vektorer
Vad är en vektor?

En vektor är ett objekt som har både längd och riktning. För att beskriva objekt i vår fysiska värld kan man ange t.ex. hastigheter och krafter. Dessa beskrivs typiskt av vektorer. Man kan t.ex. läsa på hastighetsmätaren att bilens fart är 127 km/h. Viktigare är dock att bilen kör i rätt riktning. Bilens hastighet får man genom att ange en vektor som pekar i den riktning bilen är på väg och längden av denna vektor är bilens fart.

Oftast är det smidigast att låta en riktad sträcka representera vektorn (en pil alltså):

En sådan riktad sträcke eller pil kallar vi även för geometrisk vektor. När vi tänker på en vektor, eller ritar figurer så använder vi denna geometriska bild.
En geometrisk vektor är inte beroende av var den befinner sig och två vektorer är lika om de har samma längd och samma riktning. Man kan även säga att två geometriska vektorer är lika om man kan parallellförflytta (kallas även att translatera) en av vektorerna så att de båda vektorerna sammanfaller.

Räkneregel ett för vektorer.
Vektoroperation: multiplikation med ett tal

Vektorer kan förlängas (eller förkortas):

En förlängning av vektorn u med faktorn k betecknar vi med

Observera att om faktorn k är negativ så kommer den resulterande vektorn tu att peka i motsatt riktning jämfört med den ursprungliga vektorn u.

Geometriska vektorer
Geometrisk vektoraddition:

Vektorer kan adderas genom att parallellförflytta den ena och placera dess fotpunkt vid spetsen på den andra. Vilken ordning man gör detta i spelar ingen roll::

Bilden ovan ger alltså att vektoraddition uppfyller regeln:

Video :: Introduktion till Vektorbegreppet.
Geometriska vektorer
Svagheten med geometriska vektorer
Bilden av en vektor som en riktad sträcka är bra att att ha med oss när vi tänker på problem som rör vektorer.Att använda de riktade sträckorna för att lösa problemen är svårare. Detta är i stort sett rimligt när man arbetar med två-dimensionella vektorer. Dessa kan man rita, t.ex. på ett rutpapper, och kanske komma fram till en lösning. Men redan i tre dimensioner så blir det mycket svårare att hålla reda på och rigga upp vektorer i vårt omgivande rum. Att arbeta med geometriska vektorer är alltså svårt, på ett rent praktiskt plan.

Nu är det också så att problem som involverar vektorer lika gärna kan vara problem i fyra och även högre dimensioner. Det är för mig höljt i dunkel hur man då ska gå till väga för att visualisera vektorerna.

Vi behöver alltså ett annat sätt att beskriva vektorer.

Genom att identifiera vektorer med så kallade ortsvektorer så identifieras vektorerna med koordinatvektorer till punkter. Resultatet blir en formalism som är enkel att hantera. Räkningarna blir tydligare och medför större precision. Formalismen fungerar dessutom på samma sätt i alla dimensioner vilket gör räkning framförallt i 3 och 4 dimensioner mycket mera tillgängligt.

På nästa sida tittar vi närmare på hur detta går till.
Utgångspunkt x-y-planet

Vårt vanliga x-y plan består av punkter som beskrivs av talpar (x,y). Planet har en naturlig referenspunkt i origo (0.0).

Om vi tar en geometrisk vektor och placerar den med foten i origo så får vi en så kallad ortsvektor. Denna ortsvektorn att peka på en viss unik punkt (a,b) i planet. Vår geometriska vektor är alltså kopplad till denna punkt (a,b) och vi kan alltså låta punkten representera vektorn.

Omvänt så ger varje punkt i planet en unik ortsvektor och på så sätt så har vi en exakt identifikation mellan geometriska vektorer och talpar som vi får via ortsvektorerna. Ett sådant talpar kommer vi kalla för en koordinatvektor.
Video :: koordinatvektorer
Koordinatvektorer i två dimensioner
Räkneregler för tvådimensionella vektorer
Vi har nu ett sätt att istället för geometriska vektorer använda oss av koordinatvektorerna. Låt oss börja med att se hur skalning och addition fungerar. Notera att vi här skriver vektorerna som kolonnvektorer än som radvektorer.. Poängen är att vektoradditionen är väldigt enkel. Man helt enkelt adderar varje komponent för sig. Vi tittar på ett konkret exempel där vi beräknar en viss linjärkombination av två vektorer:
Koordinatvektorer i två dimensioner
Exempel 1.1. :: En linjärkombination

En linjär kombination av två vektorer får man om vardera vektorn multipliceras med var sitt tal (3 och 2 i exemplet) och sedan adderar resultatet.

Här använder vi räknereglerna ovan för att beräkna en linjär kombination av två vektorer.
Koordinatvektorer i flera dimensioner
Räkneregler för tredimensionella vektorer
En viktig poäng med räkningen med våra koordinatvektorer är att det inte är svårare att räkna med 3, 4, 5, eller högre dimensionella vektorer än med tvådimensionella. Principen är densamma: addition sker koordinatvis och multiplicerar man vektorn med ett tal så multipliceras varje komponent av vektorn med det talet. Man kan testa sig själv genom att göra övningen på nästa sida
Koordinatvektorer i tre dimensioner
Övning 1.1. beräkning av linjärkombination
Beräkna linjärkombinationen där
Vektorekvationer och ekvationssystem
Linjärkombinationer och ekvationssystem
Nu kan vi beräkna i stort sett vilka linjärkombinationer vi vill. Givet t.ex. tre vektorer, u, v och w i tre dimensioner och vi är tillåtna att linjärkombinera dem hur vi vill. Säg nu att vi har en fjärde vektor b.

Man kan nu fråga sig om denna vektor b kan skrivas som en linjärkombination av de tre första vektorerna.

Frågan handlar om att hitta tre tal x, y och z så att Följande exempel visar nu på hur denna vektorekvation kan se ut för några typiska vektorer. Från ekvationen så får vi system med tre vanliga ekvationer i variablerna x,y och z.
Exempel 1.2. Vektorekvationer leder till ekvationssystem

Vi har följande fyra vektorer och vi frågar oss om den sista vektorn b kan skrivas som linjärkombination av de tre första vektorerna.

Vi ställer upp vektorekvationen som linjärkombinerandet ger oss: Räknar vi ihop uttrycket i vektorekvationens vänster led och delar upp ekvationen i dess tre komponenter så får vi

Det är räknereglerna som ger oss verktygen att gå från vektorekvationen till ekvationssystemet. Det är viktigt att man övar sig att se hur man kommer från ekvationssystemet till vektorekvationen.
Man kan läsa mer om detta i kapitel 1.3 i Lay´s bok.

Längden och Pythagoras sats
En vektor definierades som något som har längd och riktning. Riktningen bestäms av de siffror som står i koordinatvektorn. Vi ska nu se hur man beräknar längden och att grundidéen ligger i att använda Pythagoras sats. Vi utgår från följande figurer:

I denna bild har vi en vektor u som på ett naturligt sätt bildar en rätvinklig triangel. Denna triangel har vi i den högra bilden isolerat så att vi har en vanlig rätvinklig triangel med sidorna a och b och hypotenusan c. Hypotenusans längd är lika med vektorn u's längd och längden av en vektor betecknar vi med dubbla streck på båda sidor av vektornamnet, så här: ||u||.

Koordinatvektorer i två dimensioner
Pythagoras sats ger nu varför längden av vektorn u blir För en tredimensionell vektor v=(a,b,c) så generaliseras längdbegreppet enkelt till
Video :: Skalärprodukten och längdbegreppet
Video :: Vektorbeskrivning av linjer o plan.
Video :: Härledning av planets ekvation