Denna föreläsning introducerar begreppet vektor och förklarar hur punkter i rummet kan representera vektorerna. Punkterna beskrivs med koordinater och koordinaterna bokförs med så kallade koordinatvektorer, eller n-tuppler som man också kan kalla dem. Koordinatvektorerna är enkla att räkna med och den vektoralgebra vi får kommer vi att bli väldigt förtrogna med
En vektor är ett objekt som har både längd och riktning. För att beskriva objekt i vår fysiska värld
kan man ange t.ex. hastigheter och krafter. Dessa beskrivs typiskt av vektorer. Man kan t.ex. läsa på hastighetsmätaren att bilens fart är 127 km/h. Viktigare är dock att bilen kör i rätt riktning. Bilens hastighet får man genom att ange en vektor som pekar i den riktning bilen är på väg och längden av denna vektor är bilens fart.
Oftast är det smidigast att låta en riktad sträcka representera vektorn (en pil alltså):
En sådan riktad sträcke eller pil kallar vi även för geometrisk vektor. När vi tänker på en vektor, eller ritar figurer så använder vi denna geometriska bild.
En geometrisk vektor är inte beroende av var den befinner sig och två vektorer är lika om de har
samma längd och samma riktning. Man kan även säga att två geometriska vektorer är lika om man kan
parallellförflytta (kallas även att translatera) en av vektorerna så att de båda vektorerna sammanfaller.
Vektorer kan förlängas (eller förkortas):
En förlängning av vektorn u med faktorn k betecknar vi med
Observera att om faktorn k är negativ så kommer den resulterande vektorn tu att peka i motsatt riktning jämfört med den ursprungliga vektorn u.
Vektorer kan adderas genom att parallellförflytta den ena och placera dess fotpunkt vid spetsen på den andra. Vilken ordning man gör detta i spelar ingen roll::
Bilden ovan ger alltså att vektoraddition uppfyller regeln:
Vårt vanliga x-y plan består av punkter som beskrivs av talpar (x,y). Planet har en naturlig referenspunkt i origo (0.0).
Om vi tar en geometrisk vektor och placerar den med foten i origo så får vi en så kallad ortsvektor. Denna ortsvektorn att peka på en viss unik punkt (a,b) i planet. Vår geometriska vektor är alltså kopplad till denna punkt (a,b) och vi kan alltså låta punkten representera vektorn.Vi har följande fyra vektorer och vi frågar oss om den sista vektorn b kan skrivas som linjärkombination av de tre första vektorerna.
Vi ställer upp vektorekvationen som linjärkombinerandet ger oss: Räknar vi ihop uttrycket i vektorekvationens vänster led och delar upp ekvationen i dess tre komponenter så får vi Det är räknereglerna som ger oss verktygen att gå från vektorekvationen till ekvationssystemet.
Det är viktigt att man övar sig att se hur man kommer från ekvationssystemet till vektorekvationen.
Man kan läsa mer om detta i kapitel 1.3 i Lay´s bok.
I denna bild har vi en vektor u som på ett naturligt sätt bildar en rätvinklig triangel. Denna triangel har vi i den högra bilden isolerat så att vi har en vanlig rätvinklig triangel med sidorna a och b och hypotenusan c. Hypotenusans längd är lika med vektorn u's längd och längden av en vektor betecknar vi med dubbla streck på båda sidor av vektornamnet, så här: ||u||.