Lecture 010:: Introduktion till determinanten

Lecture :: Introduktion till determinanten
sammanfattning

Vi introducerar determinanten som ett sätt att få fram ett villkor för 2x2-matrisers invers. Sedan följer vi upp detta genom att introducera determinanten med en beräkningsmetod, den så kallade kofaktormetoden,för allmänna nxn-matriser. Kofaktormetoden är en rekursiv beräkningsmetod eftersom den kräver att man kan beräkna en (n-1)x(n-1) matris determinant för att beräkna nxn-matrisens determinant. Vi utvecklar metoden från 1x1, 2x2 till 3x3 och 4x4 matriser. Från detta är det möjligt att inse hur man ska beräkna determinanten för matriser med högre format.
Vi introducer också specialmetoder för 2x2 och 3x3 matriser samt illustrerar hur determinanter kan beräknas mha gausselimination.

Innehåll:
Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
kapitlen 3.1-3.2 i Lays bok.
Extra material
Determinanten dyker upp i ett villkor som garanterar matrisinvers
Utveckling av Determinanten.

I följande video startar vi med en allmän 2x2-matris och härleder ett villkor för att matrisen ska ha en invers. Vi definierar detta villkor som determinanten för matrisen. Större matrisers determinanter kan härledas på ett liknande sätt men räkningarna blir onödigt bökiga så det är lättare att introducera dessa determinanter på ett annat sätt, vilket vi gör längre fram i denna föreläsning.

Sammanfattar man det hela får vi att determinanten till en 2x2-matris A ges av

Video:: Determinanten som villkor som garanterar inversen
Vad menas med en Kofaktor?
Definition av Kofaktor

I föreläsningsvideon om determinanten förklaras inte riktigt vad som menas med en kofaktor och tecknet som hör till varje term motiveras bara med en teckenmatris. Här följer en definition av kofaktor som alltså kompletterar videofilmerna i detta avseende.

Låt a_ij vara elementet i nxn-matrisen A som står i rad i och kolonn j. Till detta element hör den (n-1)x(n-1)-matris A_ij som man får om man stryker rad och kolonn som elementet a_ij står i. Kofaktorn C_ij som hör till elementet a_ij definieras som

Determinanten beräknas nu genom att ta elementen längs en rad (eller kolonn) multipilicera varje element med sin kofaktor och sedan summera alla dessa produkter. På matematiska kan man skriva determinanten utvecklad längs rad i genom uttrycket

Låt oss titta på ett exempel där vi beräknar determinanten med hjälp av dessa kofaktorer

Exempel 10.1 Determinanten med kofaktorer

Först har matrisen A och elementen på dess första rad:

Sedan har vi kofaktorerna som hör ihop med elementen:

Determinanten blir nu

Video:: Determinanten och kofaktorutveckling
Determinantövning
Övning 10.2
Determinanten till en 3x3-matris

Beräkna följande determinanten med kofaktorutveckling

Video:: Beräkning av determinanten för en 3x3-matris
Sarrus regel.

Vi visar hur man beräknar determinanten av en 3x3-matris med den s.k. Sarrus regel:

Låt A vara följande matris:

Följande uppställning får vi om vi skriver kolonn 1 och 2 en gång till till höger om A. Dra sedan pilar enligt figuren.

Tag sedan produkterna av elementen längs pilarna och multiplicera med det tecken som står vid spetsarna. Addera sedan i hop resultatet så har vi värdet på determinanten.

Vi har två ytterligare exempel i följande video.

Determinantövning
Övning 10.3
Determinanten till en 2x2-matris

Beräkna följande determinanten med Sarrus regel

Övning 10.4
Determinanten till en 3x3-matris

Beräkna följande determinanten med Sarrus regel

Video:: Sarrus regel för 2x2- och 3x3-matriser
Determinantberäkning och Gausselimination
Determinanten och gausselimination

Den sista determinantberäkningsmetoden är att använda Gausseliminering. Här måste man hålla koll på radbyten och noggrannt bokföra varje gång man multiplicerar en rad med ett tal. Att multiplicera en rad med ett tal och addera till en annan påverkar inte determinanten.


Metoden introduceras och illustreras med lösningen till följande övning

Övning 10.5
Determinanten till en 3x3-matris

Beräkna följande determinanten med hjälp av Gausseliminering.

Video:: Determinanten och Gausseliminering.