Lecture 011:: Determinantens geometri och kryssprodukten.

Lecture :: Introduktion till determinanten
sammanfattning

I denna föreläsning så tittar vi närmre på determinantens geometriska betydelse. Det första är att determinanten bestämmer area eller volymer av de parallellogram och högredimensionella motsvarigheter som vektorerna spänner upp. Det andra är kryssprodukten som gäller i det tredimensionella rummet. Denna kryssprodukt definieras mha determinanten och ger oss en vektor som är vinkelrät mot de två inputvektorerna. Kryssproduktens längd ger oss också mätetalet för arean som de två tredimensionella vektorerna spänner upp.

Kryssprodukten finns inte med i kursboken men eftersom den är viktig i ingenjörsämnena så finns det här material som bör ge en tillräcklig introduktion till den.

Innehåll:
Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
kapitlen 3.1-3.2 i Lays bok.
Extra material
Determinanten kan tolkas geometriskt.
Determinanten och areor

Två vektorer spänner upp ett parallellogram:

I följande video så visas att arean av parallellogrammet ovan ges av beloppet av determinanten:

Video:: Härledning av determinantarean.
Determinanten som volym

I videon på nästa sida så visas hur determinanten till en 3x3 matris kan tolkas som en volym.

Volymen för parallellepipeden som spänns av vektorerna i ovanstående bild ges av beloppet av determinanten:

Video:: Determinanten som volym
Definition av kryssprodukten

Kryssprodukten till två vektorer är en vektor vinkelrät mot båda vektorerna, som följande bild visar:

Kryssprodukten definieras mha determinanten, så här:

Video:: Introduktion till kryssprodukten
Egenskaper för kryssprodukten.
Några enkla egenskaper för kryssprodukten.

I följande video går vi genom endast ett par enkla egenskaper för kryssprodukten. Bland dessa finner vi egenskapen att kryssproduktvektorns längd ger arean för det parallellogram som de båda vektorerna spänner upp.

Observera skillnaden från tidigare resultat om determinanten. I det tidigare fallet hade vi två tvådimensionella vektorer, satte in dessa i en 2x2-matris och beräknade beloppet av determinanten, nu har vi två tredimensionella och då funkar inte denna tidigare metod utan vi ska alltså beräkna kryssproduktens längd för att få den sökta arean.

I dokumentet om kryssprodukten som jag länkade till i början av denna föreläsning så hittar ni en mer fullständig genomgång av kryssproduktens egenskaper, speciellt de algebraiska.

Video:: Egenskaper för kryssprodukten
Övning 11.1
Användning av kryssprodukten

Beräkna ekvationen för det plan som på parameterform ges av

Video:: Lösning till övning 11.1