Lecture 012:: Introduktion till vektorrum.

Lecture :: Introduktion till vektorrum.
sammanfattning


Vektorrum är troligen det viktigaste grundbegreppet i linjär algebra. Eftersom vi räknat med vektorer i två och tre dimensioner så har vi redan en god känsla för vektorrum. Vektorrumsbegreppet är dock abstrakt i det att många olika matematiska strukturer visar sig vara exempel på vektorrum. I denna föreläsning så nämns ett funktionsrum som ett sådant nytt exempel. Funktionsrummen har dock en massa extraegenskaper som gör att studiet av funktionsrummen hamnar utanför denna kurs. De vektorrum som vi ska studera kan alla identifieras med våra vanliga reella vektorrum och därför kan vi nästan säga att vi redan nästan sett alla vektorrum. Det viktigaste är nu att få en känsla för de delvektorrum, dvs de delrum som finns i våra vanliga reella vektorrum.

Innehåll:
Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
kapitlen 2.8-2.9 och 4.1
Extra material
Vektorrum
Definition av ett vektorrum

Ett vektorrum är en mängd V, där vi kallar elementen för vektorer, tillsammans med en addition och möjlighet att multiplicera med skalärer. Vi kan därför beteckna ett vektorrum som en trippel (V,+, . ) som uppfyller de tio räkneregler som finns i Lay, sidan 233, och som ni ser i följande video.

Video:: Introduktion till vektorrum.
Delvektorrum till ett vektorrum.

Ett delvektorrum, eller, kortare, delrum är en delmängd till ett vektorrum som i sig uppfyller alla vektorrumsaxiom och som alltså själv är ett vektorrum. Tack och lov behöver man inte gå genom alla vektorrumsaxiomen utan man behöver bara kontrollera slutenhetsaxiomen. De övriga uppfylls automatiskt eftersom vår mängd är en delmängd till ett vektorum och delrumsadditionen ärvts från det omgivande vektorrummet.

Detta är vad kommande video handlar om.

Video:: Delrum
Ett plan kan vara ett delrum.
Övning 12.1 Ett plan är ett vektorrum om det innehåller origo.

Visa att planet som definieras av följande är ett delrum

Visa också att följande plan inte är ett delrum och förklara vad som är skillnaden.

Video:: Lösning till övning 12.1