Lecture 014:: Om basbyte och basbytesmatriser.

Lecture :: Basbyte
sammanfattning

När vi definierar en bas för ett vektorrum så ges alla vektorer i rummet som en linjärkombination av basvektorerna. Koordinaterna som då uppstår bildar en koordinatvektor med avseende på vår bas. Basen kan ses som en referensram och vi kan ha olika referensramar. En annan bas ger en annan referensram. Samma vektor i vårt vektorrum har olika koordinatvektorer i olika baser och, eftersom det är viktig att kunna byta referensram så är det viktigt att kunna överföra från en koordinatbeskrivning/referensram till en annan koordinatbeskrivning/referensram. Det är detta som denna föreläsning handlar om.

Innehåll:
Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
kapitlen 4.7
Extra material:
Basbyte
Koordinatvektorer och koordinatrum

Om vi har en bas för ett vektorrum så kan varje vektor beskrivas som en linjärkombination m.a.p. den basen. Koeffecienterna till vektorn map basen kan vi ställa upp i en s.k. koordinatvektor. Om vi samlar ihop alla vektorers koordinatvektor så får vi ett koordinatrum. Olika baser ger olika koordinatrum men eftersom baserna beskriver samma underliggande vektorer så är det viktigt att kunna byta från en beskrivning till en annan. Detta sker med s.k. basbytesmatriser och det är detta som denna föreläsning handlar om.


Struktur för basbytesmatrisen:

Se även sats 15 i Lay kapitel 4.7

Om B och C är två baser så ges matrisen, som överför beskrivning i basen B till beskrivning i basen C, av basvektorerna i basen B uttryckta mha basen C.

Video :: Om Koordinatsystem och koordinatrum
Basbyte mellan en bas och standardbasen
Basbytesmatrisen som byter från en bas till standardbasen

Om en bas B är given som tre vektorer uttryckta i standardbasen så får vi matrisen M som byter från basen B till standardbasen genom att ställa upp basvektorerna som kolonner i en matris och denna matris blir basbytesmatrisen M.

Exempel: Basbytesmatris från bas till standardbas

Låt oss ha följande bas, där basvektorerna är uttryckta i standardbasen:

Då blir matrisen som överför koordinatvektorer m.a.p. basen B till koordinatvektorer m.a.p. standardbasen:

Video :: Koordinatbyte mellan en bas och standardbasen.
Basbytesmatrisen mellan två icke-standardbaser

Om vi har två baser vars vektorer båda är givna m.h.a. standardbasen så får vi enkelt fram de matriser som utför basbyte från respektive bas till standardbasen. Matrisen som byter mellan de två icke-standardbaserna får vi sedan fram genom att multiplicera den ena matrisen med den andra matrisens invers. Det är dock viktigt att ordningen på denna produkt blir rätt och vi ger följande exempel som guide:

Exempel 14.1: Basbytesmatris mellan två icke-standardbaser

Vi har de båda standardbasbytesmatriserna, från vilket det följer att kolonnvektorerna är baserna uttryckta i standardbasen:

För att byta från basen A till basen B så multiplicerar vi matrisen A från vänster med inversen till B, vilket ger matrisen P. För att byta från basen B till basen A så multiplicerar vi matrisen B från vänster med inversen till matrisen A. Dessa basbytesmatriser blir:

Video :: Basbyte mellan två icke-standardbaser.
Genväg för att beräkna basbytesmatriser.

Givet två standardbasbytesmatriser A och B så finns det en genväg för att beräkna icke-standard basbytesmatriserna mellan de båda baserna. Tekniken är liknande den som vi använder för att beräkna inversen till en matris.

Man gör så här:

  1. För att beräkna matrisen som överför från A till B så ställer man upp den utvidgade matrisen (B | A) och gausseliminerar tills vi får identitetsmatrisen till vänster. Matrisen till höger är då vår basbytesmatris.
  2. För att få fram basbytesmatrisen från B till A så ställer vi upp (A | B) och gausseliminerar tills vi får identitetsmatrisen till vänster. Till höger står nu matrisens som byter från B till A!
Exempel 14.2Genväg för basbytesmatrisberäkning.

Här ställer vi upp de utvidgade matriserna för beräkning av basbytesmatriserna i exempel 14.1:

Video :: Idéerna för icke-standardbasbytet.
Video :: Detaljer för icke-standardbasbytet.