Lecture 015 :: Projektion och ortonormala baser

Lecture :: Projektion och ON-baser
sammanfattning

Vad är det som är så speciellt med standardbasen? Jo den är vårt huvudexempel på en bas där vektorerna både är ömsesidigt ortogonala och har längden 1. En sådan bas kallas för en Ortonormal bas och vi ska se att det finns många sådana ON-baser. Vi ska lära oss en metod som givet en bas för ett delrum gör om denna bas till en ON-bas. Denna metod, Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod, bygger på principen om projektion. Föreläsningen börjar med projektion av en vektor i en annan vektors riktning. Denna metod kan sedan användas för att motivera satsen som säger hur vi projicerar ned i ett delrum som har en ortogonal bas. Allt detta leder sedan naturligt till Gram-Schmidts metod. Projektion till delrum som inte har en ON-bas är huvudnummret för den så kallade minsta-kvadrat-metoden som nästa föreläsning ska behandla.

Innehåll:
Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
kapitlen 6.1-6.4
Extra material:
Skalärprodukten och ON-baser

Skalärprodukten ger oss både ett vinkelbegrepp och ett längdbegrepp. Vi påminner oss att detta följer från följande uttryck:

Normering av en vektor: om man dividerar vektorn med dess längd så får den längden ett:

Om skalärprodukten mellan två vektorer är noll så är vektorerna ortogonala. Vi definierar nu en ortogonal bas:


Vektorerna \(\mathbf{b_1},\dots,\mathbf{b_n}\) bildar en ortogonal bas för ett delrum om de förutom att de är linjärt oberoende och spänner upp delrummet dessutom är ömsesidigt ortogonala, dvs de uppfyller följande:

Basen är en ortoNormal bas, eller ON-bas om alla vektorerna dessutom har längden ett, vilket kan beskrivas med villkoret


Video :: skalärprodukten och ON-baser
Projektionsformeln är nyckeln till denna föreläsning.

Projektionsformeln härleds med hjälp av följande bild:



Projektionen \(proj_v \mathbf{u}\) av vektorn \(\mathbf{u}\) i vektorns \(\mathbf{v}\) riktning ges mha skalärprodukten enligt följande formel:


Notera att om man subtraherar projektionen från vektorn \(\mathbf{u}\) så får man en vektor (Markerat med grönt och symbolen \(b\) i figuren) som är vinkelrät mot vektorn \(\mathbf{v}\). Att förstå detta är nyckeln till Gram-Schmidts metod.

Video :: Härledning av projektionsformeln
Projektion till ett delrum med en ON-bas
Ortonormal bas

En bas \(\{\mathbf{b_1},\dots,\mathbf{b_n}\}\) är ortonormal om vektorerna är ömsesidigt ortogonala och alla vektorerna har längden ett. Detta kan snitsigt uttryckas mha skalärprodukten på följande sätt.

Sats om projektion till ett delrum med ON-bas.

Om ett delrum \(W\) till ett vektorrum \(V\) har en ON-bas \(\{\mathbf{b_1},\dots,\mathbf{b_n}\}\) så kan projektionen av en godtycklig vektor \(\mathbf{v}\) ned till \(W\) enkelt beräknas mha följande formel:

Video :: Projektion till delrum med ON-bas.
Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod

Om man har en bas till ett delrum som inte är en ortogonal eller ortonormal bas så hjälper Gram-Schmidt till och gör om basen till en ortogonal eller ortonormal bas.

Låt

vara en bas för delrummet \(W\).



Gram-Schmidts ortogonaliseringalgoritm
  1. Välj \(\mathbf{v_1}=\mathbf{b_1}\)
  2. Låt \(W_1\) vara delrummet som spänns av vektorn i föregående steg. Tag \(\mathbf{b_2}\) och beräkna projektionen av denna ned i \(W_1\). Subtrahera sedan denna projektion från \(\mathbf{b_2}\) så får vi \(\mathbf{v_2}\). Dvs
  3. För de följande stegen så låter vi \(W_{k-1}\) vara det delrum som spänns av de ortogonala vektorerna \(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_{k-1}}\) som beräknats i de \(k-1\) steg som föregår steg nummer \(k\). \(\mathbf{v_k}\) beräknas nu genom att välja \(\mathbf{b_k}\) och utföra följande beräkning:

    Projektionen beräknas enkelt med satsen om projektion till delrum med ortogonal bas.


  4. Utför alla stegen då \(k=3\dots n\)
  5. Vektorerna \(\mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_{n}}\) är nu ortogonala. För att få en ON-bas så behöver vi bara normera alla vektorerna så att de får längden 1.
Video :: Gram-Schmidts metod.
Exempel 15.1: Gram-Schmidts metod

Beräkna en ortonormal bas för delrummet \(W\) som spänns upp av vektorerna

Att Notera:
Observera att vi inte hävdar att vektorerna är en bas för \(W\) utan bara att vektorerna spänner upp delrummet.

Video :: Lösning till exempel 15.1.