Lecture 017 :: Egenvärden och egenvektorer.

Föreläsning :: Egenteori
sammanfattning

I den så kallade egenteorin studerar man de avbildningar som kvadratiska matriser definierar. Sådana avbildningar går från ett vektorrum \(\mathbb{R}^n\) tillbaka till samma rum. Då är det möjligt att direkt jämföra input och outputvektorer. Det visar sig att vektorer som definierar riktningar som inte förändras är speciellt viktiga. Egenteorin går ut på att identifiera dessa riktningar och använda dem för att göra basbyten. När man gör ett sådant basbyte så blir matrisens form speciellt enkel.

Innehåll:
Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
kapitlen 5, kapitel 7 om diagonalisering är också relevant.
Extra material:
Om egenvärden och egenvektorer

Om vi låter \(A\) vara en kvadratisk nxn-matris så kan vi betrakta \(A\) som en avbildning \[ A:\mathbb{R}^n\ni\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n \]

Vi kan då jämföra input med output och försöka hitta riktningar som inte förändras, vilket leder till att man behöver hitta nollskillda lösningar till problemet

\[ A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x} \Leftrightarrow (A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0} \]

Detta problem har den triviala lösningen \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\), som inte är intressant. För att detta homogena system ska ha nollskilda lösningar så måste matrisen \(A-\lambda I\) vara icke inverterbar, vilket är ekvivalent med att dess determinant är noll. Vi får då den karakteristiska ekvationen:

\[ \det(A-\lambda I)=0, \]

där vänster led är ett polynom i variabeln \(\lambda\) och nollställena är våra egenvärden. För varje sådant egenvärde behöver vi nu lösa ekvationen

\[ (A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0} \]

Lösningarna till denna ekvation bildar då det så kallade egenrummet och egenrummets element består av egenvektorer.


Video :: Introduktion till egenvärden och egenvektorer, del 1.
Video :: Introduktion till egenvärden och egenvektorer, del 2.
Exempel: Egenvärden och egenvektorer för en 2x2-matris

Beräkna egenvärden och egenvektorer för matrisen

\[ \left[\begin{array}{cc}-1/2 & \sqrt{3}/2 \\\sqrt{3}/2 & 1/2\end{array}\right] \]

Jag har här valt till synes ganska komplicerade värden på matrisens element men anledningen är att jag vill visa hur egenvärden och egenvektorer kan användas för att hitta den enklaste beskrivningen av den funktion som ligger till grund för vår matris. Denna enklaste matris är en diagonal matris som vi kommer att känna igen.

Stegen för lösningen är följande

  1. Beräkna egenvärden: hitta alla \(\lambda\) sådan att \(\det (A-\lambda I)=0\).
  2. Beräkna egenvektorer för alla egenvärden: Lös \((A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}\) för alla egenvärden.
  3. Använd egenvektorerna som en bas. Dessa basvektorer är givna i standarbasen och om vi ställer upp dem i en matris så får vi en basbytesmatris. I slutet kommer vi se att vår avbildning får det enklast möjliga utseendet när vi uttrycker den mha vår nya egenvektorbas och det är denna enkla slutmatris som vi kommer känna igen från vad vi gjort tidigare.
    Förstår man detta exempel så har man greppat grundprincipen för diagonalisering, som vi återkommer till i kapitel 7 av Lay, och den sista föreläsningen.
Video :: Exempel om egenvärden och egenvektorer, del 1.
Video :: Exempel om egenvärden och egenvektorer, del 2
Video ::Exempel om egenvärden och egenvektorer, del 3
Exempel: Egenvärden och egenvektorer till en 3x3-matris.

Beäkna egenvärden och egenvektorer till matrisen

Video :: Egenvärden och egenvektorer till en 3x3-matris.