Lecture 018 :: Om polynom och deras nollställen.

Lecture :: polynom och deras nollställen
sammanfattning

När man ska bestämma egenvärden och egenvektorer till en kvadratisk matris \(A\) så ställs man inför problemet att bestämma nollställena till det karakteristiska polynomet \(c(\lambda)=\det(A-\lambda I)\). Detta problem är i egenteorin bara ett litet steg på vägen men kan innebära stora problem eftersom det i allmänhet är svårt att beräkna nollställen till polynom. Denna föreläsning syftar till att ge information om hur man i stort kan gå till väga, speciellt vad gäller vissa förenklingar man kan förvänta sig i en linjär algebra kurs.

Innehåll:
Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
Kurboken förutsätter nog att man sett en del av detta material, vilket är en anledning till att jag tror att denna extra föreläsning om polynom behövs.
Extra material:
Om polynom

Ett polynom är en funktion på formen: (notera att vi sett till att koeffecienten framför \(x^n\) är 1)

där \(c_j\), \(j=0,\dots,n\) är polynomets koeffecienter och \(n\) är polynomets gradtal

En grundprincip är att vi i princip tänker oss att ett polynom är definierat för \(x\in\mathbb{C}\), dvs för de komplexa talen. Koeffecienterna tillåts också vara komplexa tal. Detta är viktigt eftersom vi annars inte kan säga att ett polynom garanterat har nollställen.

Ett nollställe är ett värde \(x=a\) som gör att \(p(a)=0\). Vi har följande viktiga sats


Algebrans fundamentalsats: Varje polynom har lika många (komplexa) nollställen som sitt gradtal.


Faktorsatsen:: Ett polynom kan faktoriseras och varje nollställe \(a\) ger upphov till en faktor \((x-a)\). Om vi kallar nollställena för \(a_i\), \(i=1,\dots,n\) så får vi

I denna andra likheten pekar vi på fallet där de första \(m\) nollställena är unika och de övriga är upprepningar av de första. Talen \(n_i\), \(i=1,\dots,m\) är antalet gånger som vardera nollstället är upprepat. Detta antal \(n_i\) kallar vi för den (algebraiska) multipliciteten för nollstället \(a_i\)


Video :: Polynom, nollställen och polynomdivision..
Video :: Algebrans fundamentalsats.
Nollställen till tredjegradspolynom

Grundprincip om nollställen:: Det är svårt i allmänhet att beräkna nollställen till polynom.


Varför?? ::

  1. Det finns inga formler (det finns, men de är för svåra)
    avgör själva: wikipedia: nollställen till tredjegradare.
  2. Numeriskt svårt: alternativet till formler gör att man kanske vill beräkna nollställena numeriskt men det är svårt för en dator att avgöra om något är exakt noll eller inte. Det enda som går är att avgöra om polynomet är noll upp till datorns precision


Hur gör vi då? ::
Speciellt hur gör vi under tentan? Jo, under en tentamen och i de flesta uppgifterna om egenvärden så har vi det förenklande antagandet att minst ett nollställe är ett heltal. En annan förenklande omständighet är även att polynomet har heltalskoeffecienter.

Detta ger oss att följande gäller för tentauppgifter:

På en tenta så är tredjegradspolynomen reella med heltalskoeffecienter och minst ett av nollställena är ett helta. Detta ger då att heltalsnollstället är en delare (en faktor) i konstantkoeffecienten \(c_0\).

Vi har då en lösningsstrategi för att hitta nollställen till dessa förenklade tredjegradspolynom:

  1. Gissa första nollstället:: Genom att identifiera alla möjliga faktorer till heltalet \(c_0\) så har vi en bra utgångspunkt att gissa ett första nollställe.

  2. Utför polynomdivisionen av polynomet med den faktor som vårt gissade nollställe ger upphov till. Resultatet av detta blir ett andragradspolynom \(x^2+px+q\), med egenskapen att \(p(x)=(x-a)(x^2+px+q)\)

  3. Beräkna andragradsfaktorns nollställen:: För andragradare så har vi vår klassiska pq formel: \[ x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{2}-q} \]


Video :: Om att heltalsnollställen delar konstanttermen.
Exempel: beräkna nollställena till tredjegradspolynomet
Video :: Exempel: att beräkna nollställena till ett tredjegradspolynom.