Lecture 019 :: Om diagonalisering av en kvadratisk matris.


Lecture :: Diagonalisering och Ortogonal diagonalisering
sammanfattning

I ett av exemplen i föreläsning 017 gjordes ett basbyte vilket ledde till att matrisen överfördes till en diagonal matris. Det är detta som är idén för diagonalisering. Det visar sig att den matris som utför denna diagonalisering har egenvektorer som kolonner. Detta betyder att metoden för att diagonalisera en matris involverar beräkning av egenvärden och egenvektorer, det här kan man se som anledningen till egenteorin är viktig. Mha egenteorin får vi alltså möjligheten att hitta koordinatsystem som är naturliga för en given matris, i den mening att matrisens funktion blir enklast beskriven i detta system.
I denna föreläsning går vi igenom diagonaliseringsmetoden och i synnerhet ortogonal diagonalisering som är möjlig om vi har den turen att matrisen råkar vara en symmetrisk matris.

Innehåll:
Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
Kapitel 5.3 och 7.1.
Extra material:
Similaritet

Två matriser \(A\) och \(B\) är similära om det finns en inverterbar matris \(P\) så att

Vi ska tolka detta som att matriserna är representanter till samma linjära avbildningar med avseende på olika baser och den diagonaliserande matrisen \(P\) är en basbytesmatris mellan de två olika baserna.


Diagonaliserbarhet

Om matrisen \(A\) är similär med en diagonal matris \(\Lambda\) så att det finns en matris \(P\) så att

så säger man att \(A\) är diagonaliserbar.


Det finns matriser som inte är diagonaliserbara men vi ska bara intressera oss för symmetriska matriser och dessa matriser har ytterligare egenskapen att vara ortogonalt diagonaliserbar, vilket vi kommer till senare i denna föreläsning.


Diagonaliseringsalgoritmen:

För att diagonalisera en diagonaliserbar matris så gör man så här:

  1. Beräkna egenvärdena
  2. Beräkna en bas för varje egenrum
  3. Placera basvektorerna för alla egenrum som kolonner i en matris \(P\). Detta är den diagonaliserande matrisen.
  4. Bilda produkten \(\Lambda=P^{-1}AP\). Detta är nu den diagonala matrisen och den har egenvärdena som diagonalelement. Egenvärdenas ordning är samma ordning som vi ställt upp egenvektorerna i.

Video :: Om diagonalisering.
Exempel: Hitta en matris som diagonaliserar följande matris.

Ni känner troligen igen exemplet från föreläsning 17. Här upprepar vi räkningarna för att ställa upp den diagonaliserande matrisen. Vi diskuterar också konsekvenserna av att matrisen \(M\) är symmetrisk, tex att egenvektorerna är ortogonala och kan användas för att skapa en ortogonal matris som diagonaliserar \(M\).
Detta bryter väg för begreppet Ortogonal diagonalisering som föreläsningen sedan fortsätter med.

Video :: Exempel på diagonalisering.
Ortogonal diagonalisering
Ortogonal matris
Följande är ekvivalent:
  1. \(P\) är ortogonal
  2. \(P\)'s kolonner bildar en ON-bas
  3. \(P\)'s rader bildar en ON-bas
  4. \( P^{-1}=P^T \)

Symmetriska matriser och Ortogonalt diagonaliserbarhet.

En matris är ortogonalt diagonaliserbar om den diagonaliserande matrisen \(P\) kan göras till en ortogonal matris, dvs en matris vars kolonner bildar en ortonormal bas. Observera språkbruket: istället för att säga att matrisen är ortonormal så säger man att den är ortogonal även fast kolonnerna är ortonormala.


Egenskaper för ortogonalt diagonaliserbara matriser
  1. Det är bara de symmetriska matriserna som är ortogonalt diagonaliserbara. Det är alltså lätt att identifiera de matriser som är ortogonalt diagonaliserbara!
  2. Egenrummen till olika egenvärden är ortogonala mot varandra

Algoritmen för ortogonal diagonalisering.
  1. Beräkna egenvärdena
  2. Beräkna en bas för varje egenrum
  3. Använd Gram-Schmidt för att göra om varje egenrumsbas till en ortonormal bas.
  4. Placera basvektorerna för alla egenrum som kolonner i en matris \(P\). Eftersom egenrummen är ortogonala mot varandra så bildar alla egenrumsbaser tillsammans en ON-mängd och därför är matrisen \(P\) en ortogonal matris. Kom nu ihåg att för en ortogonal matris så gäller \(P^{-1}=P^T\), vilket innebär att det är busenkelt att beräkna inversen till en ortogonal matris.
  5. Bilda produkten \(\Lambda=P^{T}AP\). Detta är nu den diagonala matrisen och den har egenvärdena som diagonalelement. Egenvärdenas ordning är samma ordning som vi ställt upp egenvektorerna i.
Video :: Ortogonal matris och diagonalisering.
Exempel: Hitta en matris som ortogonalt diagonaliserar följande matris.

Använd algoritmen för ortogonal diagonalisering så får man att följande matris diagonaliserar \(M\) ortogonalt:

och diagonalmatrisen, som har egenvärdena på diagonalen blir:

vilket vi ska se i följande video.

Video :: Exempel: Ortogonal diagonalisering.