Lecture 020 :: Komplexa Tal


Föreläsning :: Komplexa Tal
sammanfattning

Komplexa tal används inom många tekniska områden. Inte minst elkretsteknik använder komplexa tal i sina modeller. I denna föreläsning går vi genom grunderna till komplexa tal och hur man räknar med dem.

Innehåll:
Intro till komplexa tal

Ett komplext tal är ett tal på formen \[ z=a+bi, \] där \(a\) och \(b\) är reella tal kallade realdelen och imaginärdelen. \(i\) är den imaginära enheten och har den egenskapen att \(i^2=-1\), vilket gör att det är en lösning till ekvationen \[x^2+1=0\] Denna form för komplexa tal kallas Rektangulär form. Det finns också ett andra sätt att beskriva komplexa tal som man får genom att ange talets avstånd till origo och dess vinkel till reella axeln (x-axeln). Denna polära formen är \[ z=r\cos\phi+ir\sin\phi \] Den polära formen kan skrivas på exponentialform \[ z=re^{i\phi},\quad\text{ där }\quad e^{i\phi}=\cos\phi +i\sin\phi \]


Video :: Introduktion till komplexa tal.
Räkning med komplexa tal

Att räkna med komplexa tal skrivna på rektangulär form är i stort sett att räkna som vanligt (som med reella tal alltså) men ibland dyker \(i^2\) upp och då byter man ut detta mot \(-1\).


Exempel:: en multiplikation: \[ (3-2i)(2+5i)=6+15i-4i-10\underbrace{i^2}_{=-1}=6+11i+10=16+11i \]

Exempel:: en division:
För en division så förlänger man med konjugatet till nämnaren: \[ \frac{(3-2i)}{2-5i}=\frac{(3-2i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)}= \frac{16+11i}{29}=\frac{16}{29}+\frac{11}{29}i \] Det hela fungerar eftersom ett komplext tal gånger sitt konjugat blir ett reellt tal, nämligen kvadraten av sitt avstånd till origo. Vi har visserligen kvar en nämnare, men denna nämnare är nu ett reellt tal som vi har bättre koll på.
Division av ett komplext tal med reellt tal förändrar bara det komplexa talets avstånd till origo och inte placeringen av talet i det komplexa talplanet.
Dividerar vi med ett komplext tal så måste vi ta hänsyn till nämnarens argument (dvs, dess vinkel) för att förstå var det hamnar. Detta pga geometrin för multiplikation som vi går genom i video på sidan 8.


Video :: Räkning med komplexa tal.
Geometri för multiplikation med komplexa tal

Genom att använda den polära formen för komplexa tal kan vi tolka multiplikationen geometriskt Låt oss ha två komplexa tal skrivna på polär exponentialform: \(z=re^{i\alpha}\) och \(w=Re^{i\beta}\) Multiplicerar vi dessa så får vi \[ zw=re^{i\alpha}Re^{i\beta}=rRe^{i\alpha}e^{i\beta}=rRe^{i(\alpha+\beta)} \] vilket betyder att produkten hamnar en riktning som ges summan av de båda faktorernas vinklar och dess avstånd från origo ges av produkten av de båda faktorernas avstånd till origo.


Division kan ges en liknande tolkning. Här utnyttjas att \(\frac{1}{w}=\frac{1}{R}e^{-i\beta}\) så att \[ \frac{z}{w}=z\cdot\frac{1}{w}=\frac{r}{R}e^{i(\alpha-\beta)} \] Här så ges produktens avstånd till origo som täljarens avstånd dividerat med nämnarens avstånd. Dess argument/vinkel får vi genom att subtrahera nämnarens vinkel från täljarens.

Video:: Polär form och geometri för multiplikation
De Moivres formel

De Moivres formel:: \[ (\cos\phi+i\sin\phi)^n=\cos n\phi+i\sin n\phi \]

Moivres formel följer lätt från följande regel för exponentialfunktionen, dvs från potensräkneregel:: \[ (e^{i\phi})^n=e^{in\phi} \]

Video ::De Moivres Formel
Binomekvation

Med en binomekvation så menar vi en ekvation på formen \[ z^n=a, \] där $a$ är ett komplext tal och vi söker lösningar $z$ som också är komplexa tal. Eftersom vi har ett gradtal \(n\) så förväntar vi oss \(n\) stycken lösningar, vilket garanteras av algebrans fundamentalsats.

De \(n\) stycken lösningarna ges av \[ z_k=R^{1/n}e^{i(\frac{\alpha}{n}+\frac{2\pi}{n}\cdot k)},\qquad k=0,1,2,\dots, n-1, \] vilket diskuteras i nästa video.

Video :: Härledning av binomekvationers lösningar
Exempel 1 på binomekvationslösning

Beräkna alla lösningar till binomekvationen \[ z^4=1 \]

Video ::Binomekvationsexempel 1.
Binomekvation

Beräkna alla lösningar till binomekvationen \[ z^3=-1 \]

Video ::Binomekvationsexempel 2
Binomekvation exempel 3

Beräkna alla lösningar till binomekvationen \[ z^5=-1+i\sqrt{3} \]

Video ::Binomekvationsexempel 3.
Video ::Binomekvationsexempel 4.
Video ::Binomekvationsexempel 5.