Lecture 003:: Gausselimination, system med många lösningar

Lecture :: Gausselimination: många lösningar eller inga lösningar alls.
sammanfattning

I den här föreläsningen utvecklar vi teknikerna vid gausselimination. Vi behöver veta hur man hanterar system som ger många lösningar och system som inte har några lösningar alls. För att göra detta så är det smidigt att kunna identifiera ledande element, ledande variabler och alla fria variabler. De fria variablerna blir parametrar som används för att uttrycka de oändligt många lösningarna som ett system kan ha.

Exempel 3.1 :: Introduktion till ledande och fria variabler

Vi ska använda följande ekvationssystem för att introducera begreppen ledande element, ledande variabler och fria variabler och för att visa hur man använder dem för att skriva upp lösningarna på parameterform.

Vi skriver upp systemet på matrisform och gausseliminerar:

I den gausseliminerade matrisen så har vi nu två stycken rader som är skilda från noll och så rad 3 som är en nollrad. I varje nollskild rad så finns det ett ledande element, nämligen det första nollskillda elementet som vi stöter på om vi läser från vänster till höger. I följande uttryck så har vi ramat in de ledande elementen för rad 1 och rad 2.

Exempel 3.1 forts

På föregående bild förklarades hur vi hittar radernas ledande element. Nu tittar vi på de kolonner som de ledande elementen står i. Nu påminner vi oss om att varje kolonn svarar mot en variabel vilket ger att det första ledande elementet svarar mot variabeln x eftersom detta ledande element står i första kolonnen. Variabeln x kallas därför för en ledande variabel och den andra radens ledande element står i den andra kolonnen vilket ger att y också är en ledande variabel.

Eftersom den sista raden saknar ledande element så kommer z som svarar mot tredje kolonnen att inte vara en ledande variabel utan är i stället vår fria variabel. Vi sammanställer det hela så här

Om vi tittar på den tredje raden så kan vi tolka denna som ekvationen

Denna ekvation är uppenbarligen uppfylld oavsett vilket värde vi ger z. z är alltså fri att vara vad som helst och detta markerar vi genom att låta z anges av en parameter t.
På nästa sida uttrycker vi x och y med hjälp av denna parameter.

Exempel 3.1 forts Vi överför gausseliminerade matrisen till ekvationssystem:

Eftersom vi bestämde oss för att uttrycka den fria variabeln z med parametern t så kan vi nu från detta ekvationssystem uttrycka x och y också med denna parameter. Vi får att den andra ekvationen ger

Vi kan nu uttrycka också uttrycka x med denna parameter t:

Vi kan nu skriva upp systemets lösning på vektorform:

som geometriskt är en rät linje i tre dimensioner med riktningsvektor v och går genom punkten p då t=0.

Två övningar på system med många lösningar.
Övning 3.2 Öva själv på principen från exempel 3.1

Lös följande ekvationssystem:

Övning 3.3 En till övning!

Lös följande ekvationssystem:

På följande videos så presenteras lösningarna till ovanstående övningar.
Försök själva upptäcka skillnaden mellan de två systemen. Videon kommer sedan att förklara och poängtera denna skillnad.

Video:: Lösning övning 3.2
Video:: Lösning övning 3.3
Utveckling av gausseliminationen
Övning 3.4 :: extra-exempel Ett system som ger två nollrader
Här är ett till system att öva själva på: Skriv upp systemet på matrisform och lös systemet med gausselimination.
Video:: Lösning extraexemplet