Lecture 005:: Skalärprodukten.

Lecture :: vektorer och koordinatvektorer
sammanfattning

Denna föreläsning handlar om skalärprodukten. Skalärprodukten är en viktig produkt mellan två vektorer och ger oss längd och vinklar, dvs geometri, i linjär algebra. Produkten är dessutom närvarande när vi snart ska studera matriser och produkter av dessa. Erfarenhet visar att det ofta är bra att introducera skalärprodukten tidigt i en linjäralgebrakurs eftersom man då har ett bättre geometriskt språk som kan underlätta. Lay introducerar inte skalärprodukten förrän i kapitel 6.

Läsanvisningar::

Det finns också extramaterial som kompletterar och fördjupar denna föreläsning::


Skalär som i skalärprodukt
Skalär

Vad är en skalär för något?


En skalär är helt enkelt ett vanligt svenskt tal, ett reellt tal, dvs vilket tal som helst.


En skalär storhet, som man kanske har hört talas om i fysiken, är en storhet som beskrivs med ett tal. T.ex. så är längd en skalär storhet eftersom när man tex mäter en sträcka med en linjal så får man ut ett tal, tex 27 mm eller 3,1 cm. Även spänning, strömstyrka, resistans och tid är skalära storheter.
Hastighet och kraft räknas som vektoriella storheter eftersom de förutom längd också kräver att en viss riktning bestäms.

Skalärprodukt

På engelska säger man dot product . Ett mer allmänt, generellt, begrepp är Inre produkt som också används i stället för skalärprodukt. Kapitel 6 i Lay handlar om sådana inreprodukter. I denna föreläsning introducerar vi följande definition av skalärprodukten. Skalärprodukten av två vektorer är ett tal (en skalär alltså) som beräknas genom att summera produkterna av de båda vektorernas komponenter.


Video:: introduktion av skalärprodukten
Några egenskaper för skalärprodukten.

Vi börjar med skalärproduktens definition igen:

Från föregående video har vi att skalärprodukten och vektorlängd hänger ihop:

Kommande video förklarar hur skalärprodukten också kan ge ett vinkelbegrepp:

där ϕ är vinkeln mellan vektorerna.

Video:: Skalärprodukten och geometri
Ekvationen för ett tvådimensionellt plan.
Planets ekvation

Ett tvådimensionellt plan i ett tredimensionellt rum ges av ekvationen

Från denna ekvation kan man direkt läsa planets normalvektor:

En normalvektor pekar vinkelrät mot planet.



I den första av följande två videos ska vi se hur planets ekvation härleds ur ett ortogonalitetsvillkor och skalärprodukten.

I den andra visas något om hur vi tolkar ekvationssystemen geometriskt.

Video:: Härledning av planets ekvation
Video:: geometrisk tolkning av ekvationssystem.