Lecture 006:: Linjärt beroende och homogena ekvationssystem.

Lecture :: linjärt oberoende
sammanfattning

I den här föreläsningen studerar vi matrisekvationer, homogena ekvationssystem och introducerar linjärt beroende och oberoende. Linjärt oberoende är ett viktigt begrepp eftersom begreppet bas för ett vektorrum använder det. Fokus i denna föreläsning ligger på hur homogena ekvationssystem används och hur man med gausseliminationen direkt kan avgöra om vektorerna är beroende eller oberoende.

Läsanvisningar::

Det finns också extramaterial som kompletterar och fördjupar denna föreläsning::


Homogena ekvationssystem.
Definition:: Homogena ekvationssystem

Ett homogent ekvationssystem är ett vanligt ekvationssystem som råkar ha en nollvektor som högerled. Det kräver således inga nya lösningstekniker men vi behöver vara medvetna om att ett ekvationssystem med ett högerled som är noll innebär att det aldrig är inkonsistent eftersom nollösningen alltid finns.

Exempel 6.1::ett homogent ekvationssystem

Följande ekvationssystem är ett homogent ekvationssystem. Notera att det är uppskrivet på tre olika sätt. Först vanligt traditionellt sätt, sedan som en matrisekvation och sist på matrisform. I den sista matrisformen kan man tänka sig att utelämna högerledets nollor. När man utför gausselimination på denna matrisform kommer det i varje steg stå noll i höger led och då skulle man spara tid om man inte behöver skriva ned nollorna i varje steg.


Notera att ekvationssystemet är uppfyllt om man sätter alla tre variablerna till noll. Det står ju då noll både till vänster och till höger.
Video:: Matrisekvationer och homogena ekvationer.
Linjärt beroende/oberoende definieras med ett homogent ekvationssystem.
Definition:: Linjärt beroende/oberoende

Låt oss ha tre vektorer och nollvektorn:

Dessa tre vektorer är linjärt oberoende om vektorekvationen bara har nollösningen. Om fler lösningar än nollösningen finns så säger vi att vektorerna är linjärt beroende. Observera att denna vektorekvation kan skrivas på matrisform som, där våra vektorer är uppställda som kolonnvektorer.
Video:: Homogena ekvationssystem och linjärt beroende/oberoende