Lecture 007:: Linjära funktioner och matriser.

Lecture :: Linjära funkioner och matriser
sammanfattning

Efter en inledning om funktionsbegreppet så introduceras begreppet linjär funktion. Huvudpoängen är att varje linjär funktion kan beskrivas med en matris och vi lär oss här att matrisen bestäms av hur den linjära funktionen verkar på standardbasen. Matrisens kolonner består nämligen av de vektorer vi får som output när vi använder standardbasvektorerna som input.

Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
kapitlen 1.8 och 1.9 i Lays bok.
Extra material
Begreppet funktion.
Definition:: Funktion

En funktion från en mängd A till en annan mängd B är en regel som till varje element i A tilldelar precis ett element i B.

Exempel 7.1::
En funktion från de reella talen till de reella talen
För varje reellt tal så blir output ett tal mellan minus ett och plus ett.

Låt oss se ett exempel på något som inte blir en funktion.

Exempel 7.2::
En definition som inte ger oss en funktion.
Denna definition ger oss inte en funktion eftersom funktionens värde för noll tillåts både vara ett och två. Noll avbildas alltså på två olika reella tal, varför denna definition inte uppfyller kraven på att vara en funktion. Vi säger att g ej är väldefinierad.
Linjära funktioner
Definition av linjär funktion
En funktion L är linjär om följande gäller
Exempel 7.3
Skalärprodukten som linjär funktion.
Skalärprodukten är linjär i sin andra variabel (och även i den första) genom följande konstruktion: Definiera en funktion från det tvådimensionella rummet till de reella talen genom följande. Funktionen är linjär eftersom där vi använt räkneregler för skalärprodukten (som återfinns i Lay, kapitel 6, Theorem 1, sidan 392).

Denna lilla egenskap överförs även till matrisprodukten så att också alla matrisfunktioner automatiskt är linjära.
Video:: Linjära funktioner i en variabel.
Definition:: Linjär avbildning
En linjär avbildning eller linjär transformation är en linjär funktion mellan flerdimensionella rum. En matris är en linjär avbilding och till varje linjär avbildning kan representeras som matrisavbildning.
Video:: Linjära avbildningar
Matrisen till en linjär avbildning
Matrisen till en linjär avbildning fås genom att beräkna hur avbildningen avbildar standardbasvektorerna.
Exempel 7.4 Matrisen till spegling i y-axeln
En spegling i y-axeln överför ett talpar (x,y) till talparet (-x,y).
För standardbasen så får vi restultatet som direkt ger oss avbildningens matris:
Video:: Matrisen till en linjär avbildning.
Video:: Matrisen till en rotation