Lecture 008:: Sammansättning av linjära avbildningar, matrismultiplikation.

Lecture :: Sammansättning, Linjära avbildningar och matriser
sammanfattning

Sammansättning av funktioner är ett sätt att bilda nya funktioner från gamla. Linjära funktioner mellan flerdimensionella rum kallar vi för linjära avbildningar och sådana funktioner representeras av matriser. Sammansättning av linjära avbildningar blir då fråga om multiplikation av matriser. En viktig lärdom från denna föreläsning är att den ordning vi sammansätter två avbildningar spelar roll och detta förs över på matrismultiplikationen som då blir icke-kommutativ dvs produkten AB är inte lika med produkten BA. Se till att ni förstår detta!

Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
kapitlen 1.8 och 1.9 och 2.1 i Lays bok.
Extra material
Sammansättning
Begrepp:: Sammansättning

En funktion f från en mängd A till en annan mängd B kan sättas samman med en funktion g från mängden B till mängden C om output från f,f(A) är tillåtet som input i funktionen g.
Genom sammansättning kan man bilda en stor mängd nya funktioner från en liten mängd med enkla, kända funktioner.
I följand föreläsningsvideo behandlar vi några tankegångar kring sammansättning och syftar till att förbereda för sammansättning av linjära avbildningar som kommer senare.

I figuren ovan är sammansättningen av funktionerna f och g möjlig eftersom outputmängden f(A) är en delmängd av inputmängden B till funktionen g.

För linjära avbildningar så är mängderna A, B och C olika rum av vektorer och f och g är typiskt matriser.
Video:: Linjära avbildningar
Linjära avbildningar
Sammansättning av Linjära avbildningar
En linjär funktion från ett flerdimensionellt rum till ett annat flerdimensionellt kallar vi för en linjär avbildning eller en linjär transformation. Vi har sett att linjära avbildningar representeras av matriser. När man sedan sätter samman sådana matrisavbildningar så blir denna sammansättning en produkt av matriser. Följande bild visar den ordning som avbildningerna hamnar i. Den avbildning/matris som verkar först står längst till höger och den som kommer sist står längst till vänster. I denna figur kommer matrisen A ha formatet mxn, B's format blir qxm och BA kommer att vara en qxn-matris.

Följande video visar går genom detta och ger en första förklaring till varför sammansättningen inte är vändbar.
Video:: Linjära avbildningar
Video:: Linjära avbildningar
Här är en övning på sammansättning av avbildningar och hur man beräknar sammansättningens matris.
Lösningen finner ni i videon på nästa sida!
Övning 8.1
Sammansättningar av spegling och rotation.
Beräkna de båda möjliga sammansättningarna av spegling i x-axeln och rotation moturs med 90°.

Vad blir de sammansatta avbildningarnas matriser?
Är de båda matriserna lika?
Video:: Linjära avbildningar