Lecture 009:: Introduktion till matrisinvers.

Lecture :: Introduktion till matrisinvers
sammanfattning

Vi har sett hur ekvationssystem överförs och skrivs som matrisekvationer Ax=b. I denna föreläsning börjar vi med att studera hur man löser ett vanligt skalärt ekvationssystem ax=b. Detta använder vi sedan för att bygga upp en idé om att matrisekvationen skulle kunna lösas på liknande sätt. Det hela leder till definitionen av inversen till en matris. Vi utvecklar därefter en metod för att beräkna matrisens invers och som samtidigt ger oss villkor som garanterar att inversen existerar.

Innehåll:
Läsanvisningar::
Avsnitt i Kursboken
kapitlen 2.2 och 2.3 i Lays bok.
Extra material
Lösning av den enklaste linjära ekvationen
Lösning av ekvationen ax=b

Denna ekvation löser de flesta troligen direkt genom att flytta ned a i nämnaren under b, eller på ekvivalent sätt genom att dividera båda led med 1/a. Det här är naturligtvis helt ok, men hjälper oss inte i syftet att lösa matrisekvationen Ax=b.

Vi ska istället använda oss av de axiomatiska delarna av matematiken där division och subtraktion inte ens existerar som separata operationer. De reella talen är i stället behäftade enbart med addition och multiplikation som uppfyller följande räkneregler.

De axiom som rör multiplikation är


Den andra ekvationen ska vi tolka som att det finns ett tal, som vi kan kalla för 1, och som har denna egenskap. Den tredje ekvationen ska vi tänka på som att till varje tal a (som inte är noll) så finns det ett tal \(a^{-1}\) (kallad a's multiplikativa invers) så att om man multiplicerar a med det från vänster eller från höger så får man talet 1. Det är denna definition som ger oss division (\(a^{-1}\) skriver vi ju oftast som \(1/a\)) .

I följande video går vi genom stegen vi använder för att lösa ekvationen ax=b genom att använda ovanstående axiom. Målet är sedan att inspireras av detta för utveckla idén om matrisinvers i analogi med den multiplikativa inversen till ett tal. För att få till detta så behöver matriserna också något som motsvarar talet 1. Detta blir då den så kallade identitetsmatrisen.

Video:: Lösning av ekvationen ax=b
Identitetsmatrisen och matrisers invers
Identitetsmatrisen är en matris \(I\) som har egenskapen att så fort som produkterna är definierade (dvs matriserna har kompatibla format) så gäller

Inversmatriserna är speciellt enkla eftersom de noll överallt utom på huvuddiagonalen där matrisen har ettor. Följande matris är \(3\times 3\)-matrisernas invers:

Inversen till en matris A definieras nu som en matris B så att AB=I=BA:

Om en sådan matris B existerar så skriver vi

På nästa video så utvecklar vi dessa idéer.

Video:: Linjära avbildningar
Att lösa flera system samtidigt.
Betrakta följande tre ekvationssystem:

När vi ska lösa dessa system så noterar vi att det blir exakt samma gausselimineringsoperationer. Detta beror på att det är matrisen i vänster led som bestämmer vilka operationerna blir. Och alla tre systemen har samma vänsterledsmatris A.

I stället för att lösa alla tre systemen separat så kan man effektivisera räknearbetet genom att sätta de tre högerleden som var sin kolonn i en matris i högerledet. När man gjort gaussoperationerna så kommer lösningen för vardera system stå i respektive kolonn. Om vi antar att raderna i matrisen är linjärt oberoende så kommer elimineringsoperationerna tillsammans med återsubstitution ge oss identitesmatrisen till vänster och lösningen står då alltså till höger.

Detta utnyttjar vi när vi ska beräkna inverser, som följande video förklarar.

Video:: Metod för att beräkna matrisinvers
Två övningar om matrisinvers.
Övning 9.1 Inversen till en 2x2-matris

Beräkna inversen till matrisen

Lösningen till denna övning finner ni i videon på nästa sida.

Övning 9.2 Inversen till en 3x3-matris

Beräkna inversen till matrisen

Denna föreläsnings sista video (sid 11) presenterar beräkningen av denna 3x3-matris' invers.

Video:: Lösning till övning 9.1: inversen till 2x2 matris
Video:: Lösning till övning 9.2: inversen till 3x3 matris