News
Ny föreläsning om kvadratiska former.

publicerat den 2016 01 05

Nya föreläsningsvideos om kvadratiska former.

Övningstentans sista uppgift handlar om kvadratiska former och hur man diagonaliserar dem. Jag har nu publicerat en ny föreläsning med några videos som förhoppningsvis ska göra detta material förståeligt.

Jag har publicerat en ny föreläsning som kompletterar föreläsningarna som handlar om diagonalisering. Kvadratiska former definierar kvadratiske kurvor (i två dimensioner) och kvadratiska ytor i tre dimensioner. Genom detta får vi metoder att arbeta med ellipser, hyperblar och parabler. Detta är en tillämpning av diagonalisering som jag tycker är trevlig eftersom det ger en geometrisk idé  om nyttan av linjäralgebraiske metoder.

 

Genom att studera detta material så får ni förhoppningsvis en bättre förståelse för övningstentans sista uppgift. Den och liknande uppgifter är bra att jobba med och förstå. Det ger bra träning på material från nästan hela kursen.  Föreläsningen är ordnad som nummer 17 och skjuter fram föreläsningen om Singular Value Decomposition, som jag ännu inte hunnit producera. Jag kommer att publicera något om SVD men det kommer inte att ingå i årets examination, så ni som vill kan hoppa SVD. 

news::Frågor/kommentarer?

Detta är kursmaterial och kommentering endast möjlig för studenter registrerade på kursen vid högskolan i gävle Logga in för att kommentera och ställa frågor ::


Julia

publicerat den :: 2016 01 14

Tack! smile



mikke

publicerat den :: 2016 01 14

@Julia

Kvadratkomplettering handlar om att skriva om ett andragradspolynom så att man får en jämn kvadrat, typ som
omskrivningen:
\[x^2+2x+7=(x+1)^2+6\)
Hur detta funkar kan du hitta en video om i min YouTubespellista, eller många andra liknande videos.

När du gjort kvadratkompletteringen i uppgiften om kvadratiska former så är du i princip klar. Man kan på slutet göra en translation (du kan se det i punkt e på den andra övningstentan (20160114) som jag lade ut i går.)

mvh smile



Julia

publicerat den :: 2016 01 14

Hur kvadratkompletterar man och hur går man vidare där ifrån?
Med vänlig hälsning / Julia



mikke

publicerat den :: 2016 01 13

@Julia!

Har du verkligen kollat in föreläsningarna om kvadratiska former?
Jag löser faktiskt ett liknande problem där.

Det enda nya är hur man skriver kvadratiska ekvationer på matrisform. Här är det den kvadratiska formen som är avgörande, vilket kapitel 7.2 handlar om.

Denna typ av problem löses så här:

1. skriv ekvationen på matrisform genom att indentifiera ekvationens kvadratiska form.
2. Beräkna en matris P som ortogonalt diagonaliserar den kvadratiska formen (se till att kolonnernas ordning är sådan att matrisens determinant är +1 :: P blir då en rotation)
3. I ekvationen på matrisform byt
\[\left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c} X\\Y\end{array}\right]\]
4. Nu har vi inte längre någon blandad term (typ \(XX\).
5. Kvadratkomplettera för att hitta centrum

Det är detta tenta problem som är centralt för er att studera och förstå. Jag kommer publicera en till övningstenta med ytterligare ett sådant problem ni kan arbeta med. Kommer under kvällen…

mvh smile



Julia

publicerat den :: 2016 01 13

Oj glöm det.. Ska kika på de nya föreläsningarna smile
Med vänlig hälsning / Julia



Julia

publicerat den :: 2016 01 13

Jag förstår fortfarande inte hur man ska lösa den frågan..
Det känns inte som att fråga 14 liknar något exempel som ligger ute?
Jag förstår hur man räknar ut egenvärden, egenvektorer och tar fram p. Men när har vi gått igenom det andra?
Med vänlig hälsning / Julia



mikke

publicerat den :: 2016 01 13

@Pierina
Du har förstått rätt men

observera att när A är symmetrisk så är egenvektorerna till olika egenvärden automatiskt ortogonala. Men om egenrummet till \(\lambda\)  är tvådimensionellt så är det inte säkert att de två egenvektorerna man får fram direkt från ekvationen
\((A-\lambda I)x=0\) automatiskt är ortogonala mot varandra. Då måste man använda Gram-Schmidt för att göra om de två ickeortogonala egenvektorerna till ortogonala.
Sedan måste man normera vektorerna så att vektorerna har längden 1.
För en symmetrisk matris så finns det alltid en ortogonal matris som diagonaliserar men man kan få arbeta lite för att få fram den.

När man har beräknat egenvärdena så har man fått fram den diagonala matrisen D (man behöver alltså inte slösa tid på att beräkna produkten \(P^{-1}AP\) för detta)

mvh smile



Pierina

publicerat den :: 2016 01 13

En sak till jag kom på:

D för de icke symmetriska matrisen, ska man räkna med D=(P^-1) A (P) eller behövs ej.

smile



Pierina

publicerat den :: 2016 01 13

Aha!

D är alltid egenvärde i den ordning som egenvektorer står, oavsett om matrisen är symmetrisk eller ej.

P varierar: linjär oberoende egenvektorer om A är inte symmetrisk.
            vektorer är ortogonala och längden 1 om A är symmetrisk

Har jag uppfattat rätt?



mikke

publicerat den :: 2016 01 13

@Pierina

Kursen är lite omgjord jämfört med kursen förra året och tidigare och numera ingår inte komplexa tal, som är flyttat till kursen Algebra och Geometri. Inga uppgifter om komplexa tal på tentan alltså.

Om Diagonalisering.

Om nxn-matrisen A kan diagonaliseras så består den diagonaliserande matrisen P av n stycken linjärt oberoende vektorer.
Då blir \(D=P^{-1}AP\) en diagonal matris med egenvärdena på diagonalen. P kallas här den diagonaliserande matrisen.

Om matrisen A är symmetrisk (dvs \(A^T=A\)) så kan A ortogonalt diagonaliseras vilket betyder att vi kan få fram egenvektorer som bildar en ortonormal bas, dvs egenvektorerna är ortogonala mot varandra och har längden 1. När vi ställer upp dessa ON-vektorer i en matris så är denna matris \(P\) en ortogonal matris. Den diagonala matrisen blir, precis som för det andra fallet, \(D=P^{-1}AP\). Men eftersom \(P\) nu är en ortogonal matris så gäller att \(P^{-1}=P^T\) så att vi får
\[D=P^TAP\].  P är här en ortogonalt diagonaliserande matris.
Observera igen att det bara är symmetriska matriser som på detta sätt kan ortogonalt diagonaliseras.

mvh smile



Pierina

publicerat den :: 2016 01 13

Hej!
Angående tentamen:

1) Ser att tidigare fanns en del frågor som handlar om komplexa tal. Kommer det att ingå i tentamens i år?

Angående den diagonaliserande matris P.
2) Är det så att P är en ON- bas till egenvektorer? ( alltså den diagonaliserande matris P, är alltid en ON- till de egen vektorer som man fick från matrisen A)
3) Vad kallas matrisen som uppstår då vi sätter upp egenvektorer i en råd, utan att normera de?
4) När man ska använda P i en ekvation så är det alltså den ON- P, vi ska använda?