Problemställning :: Basbyte

Kolonnerna i matriserna \(A\) och \(B\) är två baser i \(\mathbb{R}^3\) \[ A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right]\qquad B=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right] \quad \] Beräkna matrisen som överför koordinatvektorer uttryckta i basen \(B\) till koordinatvektorer uttryckta i basen \(A\). Speciellt: Uttryck koordinatvektorn (index indikerar att vektorn är uttryckt i basen \(B\)) \([1,2,3]_B\) med hjälp av basen \(A\).

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

Matriserna \(A\) och \(B\) är båda uttryckta i standardbasen (eftersom inget annat sägs så får vi anta det) och detta innebär att de utgör basbytesmatriserna från basen \(A\) respektive \(B\) till standardbasen. Situationen är som i figuren M.h.a. figuren kan vi se hur vi överför från basen \(B\) till basen \(A\), vilket ges av följande kedja: \[ x_B \quad\longmapsto\quad Bx_B=x_S \quad\longmapsto\quad A^{-1}x_S=A^{-1}Bx_B =x_A \] Matrisen \(A^{-1}B\) överför alltså koordinatvektorer m.a.p. \(B\) till koordinatvektorer m.a.p. \(A\). Denna matrisprodukt får vi fram genom att Radreducera den utvidgade matrisen \((A | B)\) \[ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right.\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right] \quad\sim\quad \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right.\left| \begin{array}{ccc} -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \end{array} \right] \] vilket ger oss att vår basbytesmatris $X$ blir \[ X=\frac{1}{4} \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & -1 \end{array} \right]\] Genom att använda denna så får vi att koordinatvektorn \(x_B=[1,2,3]_B\) m.a.p. \(A\) ges av \[ x_A=Xx_B=\frac{1}{4} \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & -1 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c}1 \\2 \\3\end{array}\right]_B= \left[ \begin{array}{c} \frac{7}{2} \\ \frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} \end{array} \right]_A \] Vår koordinatvektor blir alltså \[ x_A=\frac{1}{2}[7,5,3] \]



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord




Problemet kopplat till lecture