Problemställning :: Beräkna determinanten med blandade metoder.

Beräkna determinanten till matrisen genom att göra en blandning av determinantberäkningarna. \[ M\left[ \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right] \] Detta exempel finns också i Determinant kompendiet avsnitt 1.1.4

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

Man kan använda antingen kofaktorutveckling eller Gausselimination för att beräkna matrisens determinant. I denna lösning kommer vi dock att göra en hybrid av metoder:

  1. Börja med att byta plats på två rader för att få en bättre utgångspunkt vid Gausseliminationen. (kom ihåg att vi då får ett teckenbyte i determinanten.)
  2. Utför vanlig Gausselimination för att få nollor nedanför första elementet i den första kolonnen.
  3. Determinanten för matrisen med nollkolonn reduceras till att beräkna determinanten för en 3x3-matris. Denna 3x3 determinant kan vi beräkna med Sarrus regel.
Vi börjar med radbytet och Gausseliminationen: \[ M=\left[ \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 7 & -1 & -3 \\ 0 & 7 & -2 & -7 \\ 0 & 2 & -1 & -1 \\ \end{array} \right]=M_1 \] Notera att radbytet gör att vi har \(M=-M_1\) eftersom de vanliga radoperationerna som skapar nollorna inte påverkar determinanten. \noindent Kofaktorutveckling längs första kolonnen ger oss nu att \[ M_1=1\cdot (-1)^{1+1}\det \left[ \begin{array}{ccc} 7 & -1 & -3 \\ 7 & -2 & -7 \\ 2 & -1 & -1 \\ \end{array} \right]= \det \left[ \begin{array}{ccc} 7 & -1 & -3 \\ 7 & -2 & -7 \\ 2 & -1 & -1 \\ \end{array} \right]=-19 \] Där vi använt Sarrus regel för att beräkna \(3\times 3\)-matrisen: \[ \begin{split} \det&\left[ \begin{array}{ccc|cc} 7 & -1 & -3 &7&-1\\ 7 & -2 & -7 &7&-2\\ 2 & -1 & -1 &2&-1\\ \end{array} \right]=\\ &=7\cdot(-2)\cdot(-1) + (-1)\cdot(-7)\cdot 2+(-3)\cdot 7 \cdot (-1) \\ &-[(-3)\cdot(-2)\cdot 2 +7\cdot(-7)\cdot(-1)+(-1)\cdot7)\cdot(-1)]=\\ &=14+14+21 - 12 -49-7=-19 \end{split} \] Om vi sammanställer allt detta så får vi \[ M=-M_1=-(-19)=19 \]



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord




Problemet kopplat till lecture