Problemställning :: beroende eller oberoende

Är vektorerna \(\mathbf{v}_1=(1,2,-1,2)\), \(\mathbf{v}_2=(2,-1,1,1)\) och \(\mathbf{v}_3=(1,-1,1,1)\) linjärt beroende eller oberoende? Ge ett villkor som garanterar att vektorn \(\mathbf{b}=(x,y,z,w)\) ligger i spannet/linjära höljet till vektorerna.

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

Linjärt oberoende kan upptäckas antingen genom att ställa upp vektorerna som rader i en matris och Gausseliminera: \[ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right] \] Eftersom vi har tre ledande element och tre rader så är våra vektorer oberoende. Vi ser också detta på att eliminationen inte gav oss en nollrad (vilket vi skulle få om vektorerna varit beroende.) Vi kan också få reda på beroendet genom att ställa upp vektorerna som kolonner i en matris. Då är det dessutom naturligt att ställa upp ekvationen \[ s\cdot \mathbf{v}_1+t\cdot \mathbf{v}_2+u\cdot \mathbf{v}_3=\mathbf{b} \] Om vi hittar tre tal \(s,t\) och \(u\) som gör att ekvationen är uppfylld så har vi visat att \(\mathbf{b}\) ligger i \(Span\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\). En biprodukt av den lösningen är att vi också kan säga om vektorerna är beroende eller oberoende. Vektorekvationen på matrisform blir \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & x \\ 2 & -1 & -1 & y \\ -1 & 1 & 1 & z \\ 2 & 1 & 1 & w \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & x \\ 0 & -5 & -3 & y-2 x \\ 0 & 0 & 1 & -x+3y+5z \\ 0 & 0 & 0 & w-3 y-4 z \\ \end{array} \right] \] Här ser vi för det första att vi har tre ledande element (vilket är det mesta vi kan ha eftersom antal kolonner är 3) vilket innebär att vektorerna är oberoende. Vi ser också att systemet är konsistent endast om \(w-3y-4z=0\). Endast vektorer som uppfyller detta villkor kan skrivas som linjärkombination av vektorerna.



annat :: Relaterade nyckelord