Problemställning :: Diagonaliserbar?

Beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen \[ \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\-3 & 5 & 2\end{array}\right] \] Är matrisen diagonaliserbar?

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

Kalla matrisen i uppgiften för \(M\). Vi börjar med att beräkna egenvärdena som bestäms ur den karakteristiska ekvationen \(\det (M-\lambda I)=0\): \[ \det (M-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 0 & 0 \\1 & 2-\lambda& 0 \\-3 & 5 & 2-\lambda\end{array}\right] =(1-\lambda)(2-\lambda)^2 =0 \] vilket ger att egenvärdena är \(\lambda=1\) och \(\lambda=2\) som är ett dubbelt egenvärde. Vi noterar redan här att för att matrisen ska vara diagonaliserbar så måste egenrummet till \(\lambda=2\) vara tvådimensionellt. Detta måste vi alltså hålla koll på när vi beräknar egenvektorerna i det som följer: Vi beräknar egenvektorerna till våra egenvärden: \(\lambda=1\) :: \[ M-1\cdot I = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\-3 & 5 & 1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1/8 \\0 & 1 & 1/8 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] \] Detta ger oss egenvektorn \[ \left[\begin{array}{c}1/8 \\-1/8 \\1\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{c}1 \\-1 \\8\end{array}\right] \] Nu beräknar vi egenvektorerna till egenvärdet \(\lambda=2\). Är egenrummet tvådimensionellt? \[ M-2\cdot I= \left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\-3 & 5 & 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] \] som ger oss egenvektorn \[ \left[\begin{array}{c}0 \\0 \\1\end{array}\right] \] Detta ger oss alltså att egenrummet till \(\lambda=2\) är en-dimensionellt, dvs den geometriska multipliciteten är ett. Den algebraiska multipliciteten som vi fick från karakteristiska ekvationen är 2. Eftersom dessa två multipliciteter inte är lika så är matrisen inte diagonaliserbar. (Thm 7 sidan 340 i kapitel 5.3 i Lay.)



annat :: Relaterade nyckelord