Problemställning :: Diagonalisering av kvadratisk ekvation

(Detta är uppgift 14 på övningstenta ht2015-1) Följande kvadratiska ekvation definierar en ellips vars centrum inte ligger i origo. \[ 5x^2-4xy+8y^2+4\sqrt{5}x-16\sqrt{5}y+4=0 \] Beräkna ett basbyte tillsammans med en translation till ellipsens centrum och skriv ellipsen i de nya basvektorerna relativt ellisens centrum. Ange också \((x,y)\)-koordinaterna för ellipsens centrum. Hint :: diagonalisera den kvadratiska formen}

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

Vi skriver ekvationen på matrisform \[ x^TAx+Kx +4=0, \] där \[ x=\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right],\quad A=\left[\begin{array}{cc}5 & -2 \\-2 & 8\end{array}\right]\quad\text{ och }\quad K=\left[\begin{array}{cc}4\sqrt{5} & -16\sqrt{5}\end{array}\right] \] Vi ortogonalt diagonaliserar den symmetriska matrisen \(A\). Dettta innebär att vi beräknar en ortogonal matris \(P\) (vars kolonner är ortogonala egenvektorer till \(A\)) Egenvärden till \(A\): \[ c(\lambda)=\det (A-\lambda I)=\det\left[\begin{array}{cc}5-\lambda & -2 \\-2 & 8-\lambda\end{array}\right]=\lambda^2-13 \lambda+36 \] Egenvärdena blir \(\lambda_1=4\) och \(\lambda_2=9\). Egenvektorerna blir, \(\lambda_1=4\): \[ 0=A-\lambda I=\left] \begin{array}{cc|c} 1 & -2 &0\\ -2 & 4 &0\\ \end{array} \right]\sim \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \] På samma sätt får vi att egenvektorerna till \(\lambda_2=9\) blir \[ \left[\begin{array}{c}-1 \\2\end{array}\right]t \] som ger oss egenvektorerna \[\left[\begin{array}{c}2 \\1\end{array}\right]t\] Vektorerna är naturligtvis ortogonal (de är ju egenvektorer till två olika egenvärden till en symmetrisk matris och ska därför vara ortogonala). Normerar vi dessa och ställer in dem i en matri så har vi vår ortogonalt diagonliserande matris \(P\): \[ P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\1 & 2\end{array}\right] \] Matrisen \(P\) ger oss basbyte \(x=Px'\): \[ x'\underbrace{P^TAP}_{=D}x'+KPx'+4=0 \] Vilket ger oss \[ [x'^2,y'^2]\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\0 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x' \\y'\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{cc}-8 & -36\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x' \\y'\end{array}\right]+4=0 \] Utvecklar vi alla matrisprodukter så får vi \[ 4x'^2+9y'^2-8x'-36y'+4=0 \] Kvadratkomplettera i \(x'\) och \(y'\) för sig: \[ 4(x-1)^2-4 +9(y'-2)^2-36 +4=0 \] som förenklas och blir \[ 4(x-1)^2+9(y'-2)^2=36 \] Substitutionen \(x''=x'-1\) och \(y''=y'-2\) ger oss den slutliga förenklingen \[ 4x''^2+9y''2=36 \] som också kan skrivas som \[ \frac{x''^2}{9}+\frac{y''^2}{4}=1 \] I de de dubbelprimmade koordinaterna så är ellipsens centrum i origo, i de primmade koordinaterna så ligger centrum i \((1,2)\). För att beräkna centrum i de oprimmade koordinaterna så behöver vi använda att \(x=Px'\) och då får vi centrumkoordinaterna \[ \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}1 \\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\\sqrt{5}\end{array}\right] \]



annat :: Relaterade nyckelord