Problemställning :: En uppgift om basbyte

Vi har baserna \(\mathcal{A}\) och \(\mathcal{B}\), givna som kolonnerna till matriserna \[ A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \qquad\text{ respektive }\qquad B=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right] \] Beräkna matrisen \(\underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}\) som överför vektorer uttryckta i basen \(\mathcal{A}\) till vektorer uttryckta i basen \(\mathcal{B}\). Vad blir vektorn \([v]_{\mathcal{A}}=[1,2,1]^T_{\mathcal{A}}\) uttryckt i basen \(\mathcal{B}\)?

Svar ::

Svar ::

\[ \underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}= \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right],\qquad [v]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}2 \\0 \\2\end{array}\right] \]

Lösning ::

Lösning ::

Basbytesmatrisen \(\underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}\) fås som produkten \(B^{-1}A\). Denna produkt beräknas genom \[ (B|A)=\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right] \] vilket alltså ger oss \[ \underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}= \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right] \] Koordinaterna för \(v\) m.a.p. basen \(\mathcal{B}\) blir \[ [v]_{\mathcal{B}}= \underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}[v]_{\mathcal{A}}= \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right]\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\0 \\2\end{array}\right] \]



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord




Problemet kopplat till lecture