Problemställning :: Gaussmaskin i aktion

Utför Gaussellimination till matrisen \[ A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\2 & -1 & 1 \\1 & -2 & -1\end{array}\right] \] (utan reduktion/återsubstitution) och använd radoperationerna för att ta fram värden \(t_1, t_2\) och \(t_3\) så att % \begin{equation} t_1\mathbf{r}_1+t_2\mathbf{r}_2+t_3\mathbf{r}_3=0 \end{equation} % Är matrisens radvektorer beroende eller oberoende? Hur ser man detta direkt från den Gausseliminerade matrisen?

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

Gausseliminering: \[ \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\2 & -1 & 1 \\1 & -2 & -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\0 & -3 & -3 \\0 & -3 & -3\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\0 & -3 & -3 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] \] Kalla raderna för vår startmatris för \(\mathbf{r}_1\),\(\mathbf{r}_2\) och \(\mathbf{r}_3\). I den mittersta matrisen så har vi samma första rad men två nya rader som vi kallar för \(\mathbf{r}_4\) och \(\mathbf{r}_5\). I den sista matrisen har vi redan namngivit de två första raderna men den nedersta nollraden är ny. Hur fick vi nollraden? Jo vi tog \(-1\) gånger rad \(\mathbf{r}_4\) och adderade till \(\mathbf{r}_5\), dvs \[ \mathbf{0}=\mathbf{r}_5-\mathbf{r}_4 \] Sedan fick vi dessa rader från de tre första raderna genom operationerna \[ \mathbf{r}_4=\mathbf{r}_2-2\mathbf{r}_1\quad\text{ och }\quad \mathbf{r}_5=\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1. \] Detta ger oss nu att \[ \mathbf{0}=\mathbf{r}_5-\mathbf{r}_4=(\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1)-(\mathbf{r}_2-2\mathbf{r}_1)=\mathbf{r}_1+\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2 \] Om vi jämför detta med ekvationen i uppgiftsformuleringen så ser vi att vi har \(t_1=1\), \(t_2=-1\) och \(t_3=1\) vilket då, enligt definitionen av linjärt beroende betyder att våra tre radvektorer faktiskt är linjärt beroende. Att vi får en nollrad när vi Gausseliminerar betyder alltså att matrisens radvektorer är linjärt beroende, och en nollrad kan man lätt se när man Gausseliminerar. Om man använder definitionen av linjärt beroende/oberoende så får vi ett system där vektorerna som vi undersöker hamnar som kolonner i ett homogent ekvationssystem. I vårt fall får vi systemet \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \] Mha ledande och fria variabler osv så kan vi skriva lösningarna till denna homogena ekvation som \[ \left[\begin{array}{c}t_1 \\t_2 \\t_3\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}1 \\-1 \\1\end{array}\right]t \] Vår lösning som vi fick i ovan får vi för \(t=1\) men här ser vi precis vilka andra möjliga kombinationer av vektorerna som också ger oss nollkolonn.



annat :: Relaterade nyckelord