Problemställning :: klassificering av kägelsnitt

Följande ekvation beskriver ett kägelsnitt: % \[ x^2+xy+y^2=1. \] % Vilken sorts kägelsnitt är det fråga om? Hitta en rotation som eliminerar den blandade termen \(xy\).

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

Vi ställer först upp ekvationen på matrisform: \[ \mathbf{x}^tA\mathbf{x}=1, \] där \[ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right],\quad \text{ och }\quad A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1/2 \\1/2 & 1\end{array}\right] \] % Vi söker en ortogonal matris (som i vårt fall ska vara en rotation) som diagonaliserar \(A\). \begin{enumerate} \item Vi börjar med egenvärdena: Det karakteristiska ekvationen blir: \[ 0=\det(A-\lambda I)=4\lambda^2-8\lambda+3, \] som har lösningarna \(\lambda=1/2\) och \(\lambda=3/2\) Eftersom båda egenvärdena är positiva (men olika) så vet vi att kägelsnittet är en ellips. \item För att få fram rotationen så behöver vi beräkna egenvektorerna. Dessa blir: \[ e_{\lambda=1/2}=(-1,1),\quad\text{ och }\quad e_{\lambda=3/2}=(1,1) \] \item Vi normerar dessa vektorer och sätter in dessa i en matris. Ordningen är viktig eftersom vi söker en rotation. För en rotation så är determinanten 1. Ställer vi upp matrisen \[P=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\1 & 1\end{array}\right] \] så ser vi att vi har en matris med determinanten 1. Motsvarande diagonalmatris blir därför \[ D=P^TAP=\left[\begin{array}{cc}3/2 & 0 \\0 & 1/2\end{array}\right] \] Utför vi rotationen så kommer ekvationen för vårt kägelsnitt att bli \(\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2=1\) eller enklare \(3x^2+y^2=2\).



annat :: Relaterade nyckelord


Problemet kopplat till lecture