Problemställning :: Linjär regression, anpassning av en linje till mätpunkter

Beräkna den linje som, i minsta kvadratmening, bäst anpassar sig till punkterna \[ (-1,1),\ (0,2),\ (1,0),\ (2,2),\ (3,2) \]

Svar ::

Svar ::

Ekvationen för linjen blir \(x-5y=-6\) eller \(y=0.2x+1.2\)

Lösning ::

Lösning ::

Vi ska anpassa en linje \(kx+m=y\) till de angivna punkterna. Om vi sätter in varje punkt i linjens ekvation så får vi ett ekvationssystem i de obekanta parametrarna \(k\) och \(m\). Detta ekvationssystem blir \begin{equation} M X = Y,\qquad\qquad\qquad\qquad (1) \end{equation} där \[ M=\left[ \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right]\quad X=\left[\begin{array}{c}k \\m\end{array}\right]\quad\text{och}\quad Y=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right] \] Vi multiplicerar båda led av (1) med \(M\)'s transponat vilket ger oss ekvationen \[ \left[ \begin{array}{cc} 15 & 5 \\ 5 & 5 \\ \end{array} \right]\left[\begin{array}{c}k \\m\end{array}\right]= \left[ \begin{array}{c} 15 \\ 2 \\ \end{array} \right] \] På matrisform får vi \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 15 & 5 &9\\ 5 & 5 &7\\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{6}{5} \\ \end{array} \right] \] vilket alltså betyder att \(k=\frac{1}{5}\) och \(m=\frac{6}{5}\) som ger att den bäst anpassade linjen blir \[ y=\frac{1}{5}x+\frac{6}{5}\quad\Leftrightarrow \quad1x-5y=6 \]



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord




Problemet kopplat till lecture