Problemställning :: Lösning av AX=B på två sätt

Givet en matrisekvation \(AX=B\) där alla matriser är kvadratiska och har samma format så kan vi tänka oss att lösa denna genom att först beräkna inversen till \(A\) och sedan multiplicera båda led med denna från vänster. Men på samma sätt som vi beräknar inversen kan vi använda oss av Gauss-Jordan elimination av den utvidgade matrisen \((A|B)\). När vi utfört Gauss-Jordan har vi den utvidgade matrisen \((I | A^{-1}B)\). Om vi kontemplerar detta kan vi se att detta leder till en arbetsbesparing. Med samma operationer som vi beräknar \(A^{-1}\) får vi här den ihopmultiplicerade matrisen vilket är färre operationer än att först beräkna inversen och sedan utföra ihopmultiplikationen. Och detta kan användas i varje situation där vi har matriser \(A\) och \(B\) och är intresserade av produkten \(A^{-1}B\). Känn efter själva. Nedan ges två matriser \(A\) och \(B\). Beräkna \(A^{-1}B\) genom

  1. att först beräkna \(A^{-1}\) och sedan utföra matrismultiplikationen
  2. Genom att Gauss-Jordaneliminera den utvidgade matrisen \((A | B)\)
\[A= \begin{pmatrix} 1&-2 &2 \\ 1 &1 &0 \\ 1& 0&1 \end{pmatrix},\quad B= \begin{pmatrix} 3&2 &-2 \\ 5 &1 &2 \\ -2& 7&1 \end{pmatrix} \]

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

  1. att först beräkna \(A^{-1}\) och sedan utföra matrismultiplikationen:: \[ A^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \\ \end{array} \right] \] \[ A^{-1}\cdot B=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} 3 & 2 & -2 \\ 5 & 1 & 2 \\ -2 & 7 & 1 \\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc} 17 & -10 & 0 \\ -12 & 11 & 2 \\ -19 & 17 & 1 \\ \end{array} \right] \]
  2. Genom att Gauss-Jordaneliminera den utvidgade matrisen \((A | B)\) \[ \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 2 & 3 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 0 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -2 & 7 & 1 \\ \end{array} \right] \quad\sim\quad \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 17 & -10 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -12 & 11 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -19 & 17 & 1 \\ \end{array} \right] \]



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord