Problemställning :: Minstakvadratanpassning av ellips

Beräkna den ellips på formen \[ ax^2+by^2=1 \] som bäst anpassar sig till punkterna \((1,2)\),\((0,3)\),\((-1,1)\),\((0,-1)\),\((1,1)\).

Svar ::

Svar ::

\(\frac{17}{22}x^2+ \frac{5}{44}y^2=1\)

Lösning ::

Lösning ::

Vi sätter in alla punkterna i ekvationen och får då ekvationssystemet \begin{eqnarray*} a+4b & = & 1 \\ 9b & = & 1\\ a+b & = & 1\\ b & = & 1\\ a+b & = & 1, \end{eqnarray*} som på matrisform blir \[\underbrace{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 0 & 9 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right]}_{=M_4} \left[\begin{array}{c}a \\b\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}1 \\1 \\1 \\1 \\1\end{array}\right] \] Vi får fram Normalekvationen genom att multiplicera med transponatet till \(M_4\) från vänster i båda led: \[ \left[ \begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 6 & 100 \\ \end{array} \right] \left[\begin{array}{c}a \\b\end{array}\right]= \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 16 \\ \end{array} \right] \] Vi skriver detta på utvidgat matrisform och radreducerar: \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 3 & 6 & 3 \\ 6 & 100 & 16 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{17}{22} \\ 0 & 1 & \frac{5}{44} \\ \end{array} \right] \] Från detta får vi alltså att \(a=\frac{17}{22}\) och \(b= \frac{5}{44}\) och vår ekvation för den ellips som bäst anpassar sig till våra punkter blir \[ \frac{17}{22}x^2+ \frac{5}{44}y^2=1 \]



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord




Problemet kopplat till lecture