Problemställning :: Nollrum, kolonnrum och radrum som delrum

Betrakta följande \(3\times 4\)-matris :: \[ A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & 2 \\1 & 2 & 1 & 2 \\1 & 2 & 2 & 1\end{array}\right] \] Om vi tolkar \(A\) som en avbildning \(A:U\to V\). Vad är \(U\) och vad är \(V\)?. Visa att \(Noll(A)\) och \(Row(A)\) är delrum av \(U\) och \(Col(A)\) ett delrum av \(V\). Beräkna \(Noll(A)\) och visa att detta rum är ortogonalt mot \(Row(A)\). Visa att \(b=(1,-1,1,-3)\) varken ligger i kolonnrummet eller i nollrummet. Ligger \(b\) i radrummet? Var ligger \(b\)?

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

Som avbildning så verkar \(3\times 4\)-matrisen \(A\) genom produkten \(Ax\), dvs \[ \mathbb{R}^4\ni x\mapsto Ax \in \mathbb{R}^3 \] Det är matrisprodukten \(Ax\) som kräver att \(x\in\mathbb{R}^4\) (vilket ger att \(U=\mathbb{R}^4\)). Matrisprodukten ger också att produkten blir en tredimensionell vektor och detta betyder att \(V=\mathbb{R}^3\). Nollrummet är ett delrum eftersom \(x,y\in Noll(A)\) ger att linjärkombinationen \(ax+by\in Noll(A)\): \[ A(ax+by)=aAx+bAy=a\cdot 0+b\cdot 0=0 \] Radrummet är linjära höljet (spannet) av radvektorerna. Därmed kommer radrummet att innehålla alla linjärkombinationer av vektorerna och därför är delrumsaxiomen automatiskt uppfyllda. Detsamma gäller för kolonnrummet, som är alla linjärkombinationer av kolonnvektorerna. Vektorn \(b\) kan inte ligga i kolonnrummet eftersom \(b\) har fyra komponenter medan varje vektor i kolonnrummet har tre komponenter. Vektorn ligger heller inte i nollrummet eftersom den inte är ortogonal mot radrummets vektorer. Man kan också utföra multiplikationen \(Ab\) och se att denna inte är noll. Ligger \(b\) i radrummet? Här kan vi ställa upp matrisen A och lägga till vektorn \(b\) som en extra rad och Gausseliminera. För vi en nollrad så ligger \(b\) i radrummet, får vi inte en nollrad så ligger \(b\) inte i radrummet. Vi har: \[ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -3 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -8 \\ \end{array} \right] \] så det följer att \(b\) inte ligger i radrummet. Vi hade också kunnat försöka lösa \(A^Tx=b\) för att hitta den linjärkombination av raderna (som nu står som kolonner i matrisen \(A^T\)) som möjligen ger b. Detta system blir \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & -3 \\ \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -8 \\ \end{array} \right] \] och detta system är uppenbarligen inkonsistent. Så, var ligger b då? Radrummet är ett tredimensinellt delrum av \(\mathbb{R}^4\) och b ligger inte där. Alltså måste b ligga i den del av \(\mathbb{R}^4\) som radrummet inte når ut till, dvs \[b\in \mathbb{R}^4\setminus Row(A)\]



annat :: Relaterade nyckelord