Problemställning :: Nollrum vs kolonnrum

Låt \[ u=\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\1 \\-3\end{array}\right],\quad\text{ och }\quad v=\left[\begin{array}{c}-5 \\3 \\-2\end{array}\right] \] och \[ A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & -1 & 3 \\3 & 2 & 5 & 1 \\-3 & 1 & -2 & -4\end{array}\right] \]

  1. Bestäm om \(u\) ligger i nollrummet till \(A\) och om \(u\) kan ligga i kolonnrummet
  2. Avgör om \(v\) ligger i kolonnrummet till \(A\). Kan \(v\) ligga i nollrummet till \(A\)?

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

  1. Multiplikationen \(Au\neq 0\) och ger oss att \(u\) inte ligger i nollrummet. \(u\) kan inte ligga i kolonnrummet eftersom den har fyra komponenter och kolonnrummet är ett delrum av \(\mathbb{R}^3\)
  2. För att undersöka om \(v\) ligger i kolonnrummet så ställer vi upp den utvidgade matrisen och gausseliminerar: \[ \left[\begin{array}{cccc|c}1 & -2 & -1 & 3 &-5\\3 & 2 & 5 & 1 &3\\-3 & 1 & -2 & -4&-2\end{array}\right]\sim \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \] Sista raden påvisar en inkonsistens och vi drar därför slutsatsen att \(v\) inte ligger i kolonnrummet. \(v\) kan inte ligga i nollrummet eftersom \(v\) är tredimensionell vektor medan nollrummet är ett delrum av \(\mathbb{R}^4\) och dessa vektorer har alla fyra komponenter..



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord




Problemet kopplat till lecture