Problemställning :: ON-bas mha Gram-Schmids metod

Låt \(W\) vara ett delrum av \(\mathbb{R}^4\) utrustad med basen \[ \mathcal{B}=\left\{ \left[\begin{array}{c}1 \\0 \\0 \\1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}3 \\1 \\0 \\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-2 \\0 \\1 \\0\end{array}\right] \right\} \]

  1. Använd Gram-Schmidts ortonormeringsalgoritm för att få fram en ON-bas för \(W\)
  2. Använd ON-basen för att beräkna projektionen \(Proj_W \mathbf{v}\) av vektorn \(\mathbf{v}=(1,1,1,1)\) ned i delrummet \(W\).

Svar ::

Svar ::

\[ \frac{1}{15}(16,12,17,14) \]

Lösning ::

Lösning ::

  1. Vi använder Gram-Schmidt: Vår bas består av tre vektorer. Ingen av vektorerna är ortogonal mot någon av de andra så här måste vi använda Gram-Schmidt från grunden. Jag tycker att vektorn \((1,0,0,1)\) verkar enklast så jag börjar med denna för att först beräkna en ortogonal bas. Normeringen gör jag sedan när jag beräknat tre ortogonala vektorer. \[ o_1=(1,0,0,1) \] Den andra vektorn beräknas genom att från denna dra bort dess projektion på den första vektorn: \[ \begin{split} o_2 &=(3,1,0,0)-\frac{(3,1,0,0)\bullet (1,0,0,1)}{2}(1,0,0,1)=\\ &=(3,1,0,0)-(3/2,0,0,3/2)=(3/2,1,0,-3/2) \end{split} \] Den tredje vektorn får vi genom att från tredje vektorn subtrahera dess projektion på de två ovanstående vektorerna \[ \begin{split} o_3 &=(-2,0,1,0)-\frac{(-2,0,1,0)\bullet (1,0,0,1)}{2}(1,0,0,1)\\ &-\frac{(-2,0,1,0)\bullet (3/2,1,0,-3/2)}{11/2}(3/2,1,0,-3/2)=\\ &=(-2,0,1,0)+(1,0,0,1)+(9/11,6/11,0,-9/11)=\\ &=\frac{1}{11}\left[(-11,0,11,11)+(9,6,0,-9)\right]=\frac{1}{11}(-2,6,11,2) \end{split} \] Nu normerar vi \(o_1, o_2\) och \(o_3\):: \begin{eqnarray*} e_1& = &\frac{o_1}{||o_1||}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,0,1)=\\ e_2& = &\frac{o_2}{||o_2||}=\frac{1}{\sqrt{22}}(3,2,0,-3)\\ e_3& = &\frac{o_3}{||o_3||}=\frac{1}{\sqrt{165}}(-2,6,11,2) \end{eqnarray*}
  2. Vi beräknar projektionen till delrummet \(W\) genom att summera projektionerna till varje vektor i den ortonormala basen: \[ \begin{split} Proj_W \mathbf{v}&=(\mathbf{v}\bullet \mathbf{e_1})\mathbf{e_1}+(\mathbf{v}\bullet \mathbf{e_2})\mathbf{e_2} +(\mathbf{v}\bullet \mathbf{e_3})\mathbf{e_3}=\\ &= ((1,1,1,1)\bullet\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,0,1))\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,0,1)+\\ &((1,1,1,1)\bullet\frac{1}{\sqrt{22}}(3,2,0,-3))\frac{1}{\sqrt{22}}(3,2,0,-3)\\+ &((1,1,1,1)\bullet\frac{1}{\sqrt{165}}(-2,6,11,2))\frac{1}{\sqrt{165}}(-2,6,11,2)=\\ &=(1,0,0,1)+\frac{2}{22}(3,2,0,-3)+\frac{17}{165}(-2,6,11,2)=\\ &=\frac{1}{330}\left[(330,0,0,330)+(90,60,0,-90)+(-68,204,374,68)\right]=\frac{1}{330}(352,264,374,308)\\ &=\frac{1}{15}(16,12,17,14) \end{split} \]



annat :: Relaterade nyckelord