Problemställning :: parameterberoende utan många lösningar

Bestäm talet \(a\) så att systemet \[ \left[\begin{array}{cc|c}1 & 2a & 1 \\2a & 1 & 0\end{array}\right] \]
1. har unik lösning
2. har oändligt många lösningar
3. har unik lösning.

Svar ::

Svar ::

1. Systemet har unik lösning om \(a\neq\pm\frac{1}{2}\)
2. Inget värde på \(a\) ger oss ett system med oändligt många lösningar
3. om \(a=\pm\frac{1}{2}\) så är systemet inkonsistent, dvs saknar lösningar.

Lösning ::

Lösning ::

Gausseliminera :: \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 2 a & 1 \\ 0 & 1-4 a^2 & -2 a \\ \end{array} \right] \] Från detta har vi att vi får unik lösning om \(1-4a^2\neq 0\), dvs unik lösning om \(a\neq\pm\frac{1}{2}\) För att få oändligt många lösningar så krävs dett att sista raden är noll både till vänster och till höger. Vänster led blir noll om \(a=\pm\frac{1}{2}\). Men då blir höger led \(\pm 1\) dvs skilt från noll och detta ger i så fall att vi får en inkonsistens (\(0=1\) så systemet saknar lösningar för \(a=\pm\frac{1}{2}\) Detta betyder också att det inte finns något värde på \(a\) som gör att båda led blir noll och detta system kan alltså aldrig ha oändligt många lösningar.



annat :: Relaterade nyckelord


Problemet kopplat till lecture