Problemställning :: System som beror av parameter.

Beräkna de värden på parametern \(c\) som gör att systemet \(A_8x=b\), där \[ A_8=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\ -2 & c & 2 \\ -1 & -1 & c \\ \end{array} \right], \qquad b=\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right] \]

  1. har en unik, entydig lösning.
  2. har oändligt många lösningar
  3. saknar lösning

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

Systemet har unik lösning endast i de fall där \(c\) är vald så att matrisen \(A_8\) är inverterbar. De andra två fallen är singulära och kräver att determinanten ska vara noll. Vi börjar därför med att försöka bestämma \(c\) så att determinanten är noll. Matrisens determinant blir \[ \det A_8=c^2 +5c-6=(c-1)(c+6) \] och faktoriseringen till höger får vi när vi använder kvadratkomplettering eller pq-formeln och får att andragradspolynomet har nollställena \(c=1\) och \(c=-6\). Dessa två värden gör att systemet antingen är olösbart och saknar lösning eller så har systemet många lösningar. Löser vi systemet för \(c=1\) så ser vi att systemet är konsistent :: \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \] Systemet har två ledande och en fri variabel och har därför har systemet i detta fall många lösningar. För \(c=-6\) så blir systemet inkonsistent: \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 2 \\ -2 & -6 & 2 & 3 \\ -1 & -1 & -6 & 0 \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \frac{19}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \] I den sista raden så ser vi att den har ledande element i höger led. Skriver vi upp ekvationen som denna sista rad ger så får vi likheten \(0=1\) som aldrig kan vara uppfylld. Värdet \(c=-6\) leder till ett system som saknar lösning, dvs är inkonsistent. För alla andra värden på \(c\) så har vi ett system där man får en unik lösning.



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord




Problemet kopplat till lecture