Problemställning :: T-20130820

Matrisen för en spegling i en godtycklig linje genom origo kan beräknas genom att först rotera linjen så att den sammanfaller med \(x\)-axeln, sedan spegla i \(x\)-axeln och slutligen rotera allt tillbaka,

Visa att detta stämmer i det fall vi vill spegla i linjen \(y=x\). Dvs, skriv matrisen för speglingen i \(y=x\), \(S\) i som en produkt av matriserna för rotation \(R_1\) medurs av linjen till \(x\)-axeln, \(S_x\) spegling i \(x\)-axeln samt rotation moturs tillbaka \(R_2\). Alla ingående rotations och speglingsmatriser skall anges samt den produkt som ger oss speglingsmatrisen för spegling i \(y=x\).

Bildtexten ska vara :: Dekonstruktion av Spegling i godtycklig linje genom origo: först roterar vi vinkeln \(\beta\) medurs, sedan speglar vi i \(x\)-axeln och slutligen roterar vi moturs med vinkeln \(\beta\)

Svar ::

Svar ::

\[ S=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0\end{array}\right],\quad S_x=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1\end{array}\right],\quad R_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 1\end{array}\right]\quad R_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\1 & 1\end{array}\right] \] Vi har att \[S=R_2S_xR_1\]

Lösning ::

Lösning ::

Matrisen för speglingen i \(y=x\) blir \[ S=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0\end{array}\right] \] ty \((1,0)\) avbildas till \((0,1)\) och \((0,1)\) avbildas till \((1,0)\) av denna spegling. Dessa resulterande vektorer är ovanstående matris' kolonnvektorer. Linjen \(y=x\) bildar vinkeln \(\phi=\pi/4\) (45°) med \(x\)-axeln. Den första rotationen sker medurs , vinkeln blir alltså \(-\pi/4\) och vi har därför \[ R_1=\left[\begin{array}{cc}\cos -\pi/4 & -\sin-\pi/4 \\\sin-\pi/4 & \cos-\pi/4\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 1\end{array}\right] \] På samma sätt har vi att \[ R_2=\left[\begin{array}{cc}\cos \pi/4 & -\sin\pi/4 \\\sin\pi/4 & \cos\pi/4\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\1 & 1\end{array}\right] \] Speglingen i \(x\)-axeln blir \[ S_x=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1\end{array}\right] \] % När vi sätter samman operationerna så är det viktigt att ordningen blir den rätta (eftersom matrismultiplikationen inte är kommutativ). Den första operationen ska stå längst till höger och den sista ska stå först. I vårt fall har vi att rotation medurs, spegling i x samt rotation moturs ger oss \[ R_2S_xS_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1\end{array}\right] }_{\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & -1\end{array}\right]}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 1\end{array}\right] =\frac{1}{2}\underbrace{\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & -1\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 1\end{array}\right] }_{=\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\2 & 0\end{array}\right]} =\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0\end{array}\right]=S \]



annat :: Relaterade nyckelord


Nyckelord




Problemet kopplat till lecture