Problemställning :: T-20140115

Givet en rät linje \(y=k x\) så vill vi beräkna matrisen till den avbilding som geometriskt är speglingen i denna linje. Denna spegling kan tolkas som sammansättningen av att först rotera linjen så att den sammanfaller med \(x\)-axeln, sedan spegla i \(x\)-axeln och slutligen rotera tillbaka till linjens ursprungliga position. Beräkna matrisen \(S_L\) som utför spegling i linjen \(y=\sqrt{3}\ x\), dvs spegling i den linje som har lutningskoeffecienten \(k=\sqrt{3}\).

Svar ::

Svar ::

\[S_L=\left[ \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right] \]

Lösning ::

Lösning ::

Vår räta linje bildar vinkeln \(\pi/3\) eller 60° med \(x\)-axeln. Detta gör att den första rotationen sker med 60° medurs, eftersom moturs rotationsriktning definieras som positiv riktning så innebär detta att vår rotation är en rotation med -60°. Denna rotation realiseras mha matrisen \[ R_1=\left[\begin{array}{cc}\cos(-\pi/3) & -\sin( -\pi/3) \\\sin (-\pi/3) & \cos(-\pi/3)\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] \] Med den andra rotationen så ska vi rotera tillbaka till ursprungspositionen vilket alltså är en rotation med vinkeln 60° moturs, vilket ger följande matris. \[ R_2=\left[\begin{array}{cc}\cos(\pi/3) & -\sin (\pi/3) \\\sin (\pi/3) & \cos(\pi/3)\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] \] Speglingen i \(x\) axeln ges av matrisen \[ S=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1\end{array}\right] \] Speglingen \(S_L\) i linjen ges enligt uppgiftsformuleringen av att man först roterar med \(R_1\) varefter vi utför speglingen \(S\) och slutligen roterar tillbaka med \(R_2\) Sammansättningen blir en matrisprodukt där den första operationens matris ska stå längst till höger och de övriga två till vänster om denna: \[ S_L=R_2\cdot S\cdot R_1= \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right] \]



annat :: Relaterade nyckelord