Problemställning :: Tre delrumsövningar

Vilka av följande delmängder av \(\mathbb{R}^3\) är delrum till \(\mathbb{R}^3\)?

  1. \(U=\{(a,b,1): a,b\in\mathbb{R}\}\).
  2. \(U=\{(0,0,c): c\in\mathbb{R}\}\)
  3. \(U=\{(a,b,c): a+2b-c=0, a,b,c\in\mathbb{R}\}\)

Svar ::

Svar ::

Lösning ::

Lösning ::

  1. \(U=\{(a,b,1): a,b\in\mathbb{R}\}\). Nollvektorn tillhör inte \(U\) eftersom nollvektorn inte har 1 i tredje komponenten. Om vi summerar två godtyckliga vektorer så kommer vi få en vektor som har 2 i tredje (z-) komponenten. En sådan vektor ligger inte i \(U\) och då följer det att \(U\) inte är sluten under addition och därför inte ett delrum. Om vi multiplicerar en vektor från \(U\) med ett tal skilt från 1, (säg 2) så får vi en vektor utanför \(U\). \(U\) ej sluten under multiplikation med tal.
  2. \(U=\{(0,0,c): c\in\mathbb{R}\}\) Först och främst så ligger nollvektorn i \(U\) eftersom \(c\) tillåts vara noll. Summerar vi två vektorer från \(U\) så får vi en vektor med nollor i de två första komponenterna och ett tal i tredje. Summan ligger alltså i \(U\) så \(U\) är sluten under addition. Slutligen så kommer produkten av vektorn med ett godtyckligt tal \(t\) ge en vektor i \(U\) eftersom \(t\cdot (0,0,c)=(0,0,t\cdot c)\) så \(U\) är sluten under multiplikation med ett tal. De tre delrumsaxiomen är alltså uppfyllda och \(U\) är alltså ett delrum.
  3. \(U=\{(a,b,c): a+2b-c=0, a,b,c\in\mathbb{R}\}\) Vi har att nollvektorn uppfyller ekvationen så nollvektorn tillhör \(U\). Låt \(u_1=(a_1,b_1,c_1)\) och \(u_2=(a_2,b_2,c_2)\) ligga i \(U\) och bilda deras summa \(u_1+u_2=(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)\) \(U\) är sluten under addition om denna summa uppfyller ekvationen \(a+2b+c=0\) Vi testar: \[ (a_1+a_2)+2(b_1+b_2)+(c_1+c_2)=\underbrace{a_1+2b_1+c_1}_{=0,\text{ ty }u_1\in U} +\underbrace{a_2+2b_2+c_2}_{=0,\text{ ty }u_2\in U}=0 \] Alltså är \(U\) sluten under addition Vi behöver nu undersöka slutenheten under multiplikation med tal. Vi behöver kolla om \(t\cdot u_1\in U\): \[t\cdot a_1+2\cdot t\cdot b_1+t\cdot c_1=t\cdot\underbrace{a_1+2b_1+c_1}_{=0,\text{ ty }u_1\in U}=t\cdot 0=0.\] Detta \(U\) uppfyller alltså delrumsaxiomen och är alltså ett delrum. Notera att detta \(U\) kan beskrivas som nollrummet till \(1\times 3\)-matrisen \([1,2,1]\) och ett nollrum till en matris är alltid ett delrum.



annat :: Relaterade nyckelord


Problemet kopplat till lecture